2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ とする。 (1) $a, b$ の値をそれぞれ求めよ。 (2) $a^2 + b^2$ と $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めよ。 (3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ を解き、整数 $x$ がちょうど2個存在するような条件を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ とする。

(1) $a, b$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) $a^2 + b^2$ と $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めよ。

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ を解き、整数 $x$ がちょうど2個存在するような条件を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 解の公式を使って $a, b$ を求める。2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ で与えられる。

$x^2 - 4x - 2 = 0$ について、解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$

よって、$a = 2 + \sqrt{6}$, $b = 2 - \sqrt{6}$ (またはその逆)とする。

(2) 解と係数の関係より、$a+b = 4$, $ab = -2$ である。

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 4^2 - 2(-2) = 16 + 4 = 20$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{20}{-2} = -10$

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ について、

$|\frac{b}{a}| = |\frac{2 - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}}| = |\frac{(2-\sqrt{6})^2}{(2+\sqrt{6})(2-\sqrt{6})}| = |\frac{4 - 4\sqrt{6} + 6}{4-6}| = |\frac{10 - 4\sqrt{6}}{-2}| = | -5 + 2\sqrt{6} | = 2\sqrt{6}-5$ （なぜなら$2\sqrt{6} = \sqrt{24} > \sqrt{25} = 5$ より）

$\frac{a}{b} = \frac{2+\sqrt{6}}{2-\sqrt{6}} = \frac{(2+\sqrt{6})^2}{(2-\sqrt{6})(2+\sqrt{6})} = \frac{4 + 4\sqrt{6} + 6}{4-6} = \frac{10 + 4\sqrt{6}}{-2} = -5 - 2\sqrt{6}$

したがって $|x - (-5 - 2\sqrt{6})| \le 2\sqrt{6}-5$

$|x + 5 + 2\sqrt{6}| \le 2\sqrt{6}-5$

$-(2\sqrt{6}-5) \le x + 5 + 2\sqrt{6} \le 2\sqrt{6}-5$

$-2\sqrt{6}+5 \le x + 5 + 2\sqrt{6} \le 2\sqrt{6}-5$

$-2\sqrt{6}+5 - 5 - 2\sqrt{6} \le x \le 2\sqrt{6}-5 - 5 - 2\sqrt{6}$

$-4\sqrt{6} \le x \le -10$

$-4\sqrt{6} = -\sqrt{16 \cdot 6} = -\sqrt{96}$

$-\sqrt{100} < -\sqrt{96} < -\sqrt{81}$ より $-10 < -4\sqrt{6} < -9$ である。

$-9.8 \approx -4\sqrt{6} \le x \le -10$ はありえない。計算間違い。

$|\frac{b}{a}| = |\frac{a}{b}|^{-1}$なので$|\frac{b}{a}| = \frac{1}{5+2\sqrt{6}} = \frac{5-2\sqrt{6}}{25-24} = 5-2\sqrt{6}$

$-(5-2\sqrt{6}) \le x+5+2\sqrt{6} \le 5-2\sqrt{6}$

$-5+2\sqrt{6}-5-2\sqrt{6} \le x \le 5-2\sqrt{6}-5-2\sqrt{6}$

$-10 \le x \le -4\sqrt{6}$

$-10 \le x \le -4\sqrt{6} \approx -9.79$を満たす整数が2個。

よって、$x = -10, -9$ 。よって、 $-10 \le x < -9$

$-10 \le -4\sqrt{6} < -9$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2 + \sqrt{6}, b = 2 - \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2 = 20, \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = -10$

(3) $-10 \le -4\sqrt{6} < -9$ を満たす実数