(1) 関数 $y = x^4 - 6x^2 + 10$ の最小値を求める。 (2) $-1 \leq x \leq 2$ のとき、関数 $y = (x^2 - 2x - 1)^2 - 6(x^2 - 2x - 1) + 5$ の最大値、最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = x^4 - 6x^2 + 10$ の最小値を求める。

(2) $-1 \leq x \leq 2$ のとき、関数 $y = (x^2 - 2x - 1)^2 - 6(x^2 - 2x - 1) + 5$ の最大値、最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$y = x^4 - 6x^2 + 10$ を $t = x^2$ とおいて平方完成する。

$y = (x^2)^2 - 6(x^2) + 10 = t^2 - 6t + 10$

$y = (t - 3)^2 - 9 + 10 = (t - 3)^2 + 1$

$t = x^2$ なので、$t \geq 0$。

$t = 3$ のとき最小値 $1$ をとる。

$t = 3$ のとき、$x^2 = 3$ より $x = \pm\sqrt{3}$

(2)

$t = x^2 - 2x - 1$ とおく。

$t = (x - 1)^2 - 2$

$-1 \leq x \leq 2$ の範囲で、$t$ の変域を求める。

$x = 1$ のとき、$t = -2$ (最小値)

$x = -1$ のとき、$t = (-1)^2 - 2(-1) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$

$x = 2$ のとき、$t = 2^2 - 2(2) - 1 = 4 - 4 - 1 = -1$

よって、$-2 \leq t \leq 2$

$y = t^2 - 6t + 5$

$y = (t - 3)^2 - 9 + 5 = (t - 3)^2 - 4$

$-2 \leq t \leq 2$ の範囲で、$y$ の最大値、最小値を求める。

$t = 2$ のとき、$y = (2 - 3)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$

$t = -2$ のとき、$y = (-2 - 3)^2 - 4 = 25 - 4 = 21$

したがって、$t = -2$ のとき最大値 $21$。

$t = 2$ のとき最小値 $-3$。

$t = -2$ のとき、$x^2 - 2x - 1 = -2$ より、$x^2 - 2x + 1 = 0$。$(x - 1)^2 = 0$ より、$x = 1$。

$t = 2$ のとき、$x^2 - 2x - 1 = 2$ より、$x^2 - 2x - 3 = 0$。$(x - 3)(x + 1) = 0$ より、$x = 3, -1$。

$-1 \leq x \leq 2$ より、$x = -1$。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 1 ($x = \pm\sqrt{3}$ のとき)

(2) 最大値: 21 ($x=1$のとき), 最小値: -3 ($x=-1$のとき)