$\sum_{k=1}^{n} (k-1)^3$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (k-1)^3$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた和を書き換えます。$k-1 = j$ とおくと、$k = 1$ のとき $j = 0$、$k = n$ のとき $j = n-1$ となるため、

$\sum_{k=1}^{n} (k-1)^3 = \sum_{j=0}^{n-1} j^3$

となります。次に、$j$ を $k$ に書き換えます。

$\sum_{k=0}^{n-1} k^3$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$ であることを利用します。

$\sum_{k=0}^{n-1} k^3 = (\frac{(n-1)((n-1)+1)}{2})^2 = (\frac{(n-1)n}{2})^2 = \frac{n^2(n-1)^2}{4} = \frac{n^2(n^2-2n+1)}{4} = \frac{n^4-2n^3+n^2}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{n^4-2n^3+n^2}{4}$