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与えられた問題は、総和を計算する問題です。具体的には、以下の式で表される数列の和を求める必要があります。 $\sum_{k=1}^{n-1} (-2)^{k-1}$

代数学数列等比数列総和シグマ
2025/6/15

1. 問題の内容

与えられた問題は、総和を計算する問題です。具体的には、以下の式で表される数列の和を求める必要があります。
∑k=1n−1(−2)k−1\sum_{k=1}^{n-1} (-2)^{k-1}

2. 解き方の手順

この総和は、初項 a=1a=1、公比 r=−2r=-2、項数 n−1n-1 の等比数列の和です。
等比数列の和の公式は次の通りです。
Sn=a(1−rn)1−rS_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}
この公式を今回の問題に適用します。a=1a = 1, r=−2r = -2, nn は n−1n-1 に置き換えます。
Sn−1=1(1−(−2)n−1)1−(−2)S_{n-1} = \frac{1(1-(-2)^{n-1})}{1-(-2)}
Sn−1=1−(−2)n−13S_{n-1} = \frac{1-(-2)^{n-1}}{3}

3. 最終的な答え

1−(−2)n−13\frac{1-(-2)^{n-1}}{3}

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