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与えられた問題は、総和の計算です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n-1} (4k+7)$ を計算します。

代数学数列総和シグマ等差数列
2025/6/15

1. 問題の内容

与えられた問題は、総和の計算です。具体的には、∑k=1n−1(4k+7)\sum_{k=1}^{n-1} (4k+7) を計算します。

2. 解き方の手順

総和を計算するために、総和の性質を利用して、和を分割します。
まず、∑k=1n−1(4k+7)=∑k=1n−14k+∑k=1n−17\sum_{k=1}^{n-1} (4k+7) = \sum_{k=1}^{n-1} 4k + \sum_{k=1}^{n-1} 7 と分割します。
次に、それぞれの総和を計算します。
∑k=1n−14k=4∑k=1n−1k=4⋅(n−1)n2=2n(n−1)\sum_{k=1}^{n-1} 4k = 4 \sum_{k=1}^{n-1} k = 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 2n(n-1)
∑k=1n−17=7(n−1)\sum_{k=1}^{n-1} 7 = 7(n-1)
したがって、
∑k=1n−1(4k+7)=2n(n−1)+7(n−1)=(2n+7)(n−1)=2n2−2n+7n−7=2n2+5n−7\sum_{k=1}^{n-1} (4k+7) = 2n(n-1) + 7(n-1) = (2n+7)(n-1) = 2n^2 - 2n + 7n - 7 = 2n^2 + 5n - 7

3. 最終的な答え

2n2+5n−72n^2 + 5n - 7

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