関数 $f(x) = 16 \cdot 9^x - 4 \cdot 3^{x+2} - 3^{-x+2} + 9^{-x}$ が与えられ、$t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ とおく。 (1) $t$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。 (2) $f(x)$ を $t$ の式で表す。 (3) 方程式 $f(x) = k$ が相異なる実数解を3個持つとき、定数 $k$ の値と、3つの実数解を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 16 \cdot 9^x - 4 \cdot 3^{x+2} - 3^{-x+2} + 9^{-x}$ が与えられ、$t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ とおく。

(1) $t$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

(2) $f(x)$ を $t$ の式で表す。

(3) 方程式 $f(x) = k$ が相異なる実数解を3個持つとき、定数 $k$ の値と、3つの実数解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ について、相加平均・相乗平均の関係を用いる。

$4 \cdot 3^x > 0$, $3^{-x} > 0$ より、

$$$$

t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x} \geq 2 \sqrt{4 \cdot 3^x \cdot 3^{-x}} = 2 \sqrt{4} = 4

$$$$

等号成立は $4 \cdot 3^x = 3^{-x}$ のとき。

$4 \cdot 3^x = \frac{1}{3^x}$ より、$(3^x)^2 = \frac{1}{4}$

$3^x = \frac{1}{2}$ となるので、$x = \log_3 \frac{1}{2} = -\log_3 2$

よって、$t$ の最小値は 4 で、そのとき $x = -\log_3 2$ である。

(2) $f(x)$ を $t$ で表す。

$f(x) = 16 \cdot 9^x - 4 \cdot 3^{x+2} - 3^{-x+2} + 9^{-x} = 16 \cdot (3^x)^2 - 36 \cdot 3^x - 9 \cdot 3^{-x} + (3^{-x})^2$

$t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ より、$t^2 = (4 \cdot 3^x + 3^{-x})^2 = 16 \cdot (3^x)^2 + 8 \cdot 3^x \cdot 3^{-x} + (3^{-x})^2 = 16 \cdot 9^x + 8 + 9^{-x}$

$16 \cdot 9^x + 9^{-x} = t^2 - 8$

$f(x) = (t^2 - 8) - 36 \cdot 3^x - 9 \cdot 3^{-x} = t^2 - 8 - 9(4 \cdot 3^x + 3^{-x}) = t^2 - 8 - 9t$

よって、$f(x) = t^2 - 9t - 8$

(3) $f(x) = k$ の解の個数を考える。

$t^2 - 9t - 8 = k$ より、$t^2 - 9t - (8+k) = 0$

$t = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 4(8+k)}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{113 + 4k}}{2}$

$t$ の最小値は 4 であるから、$t \geq 4$

$t$ が1つの値を取るとき、$3^x$ は2つの値を取りうる。

$t$ が2つの値を取るとき、$3^x$ は4つの値を取りうる。

$f(x) = k$ が異なる3つの実数解を持つためには、$t$ に関する二次方程式が、$t > 4$ と $t = 4$ の解を持つ必要がある。

$t=4$ を代入すると、$16 - 36 - 8 = k$ より、$k = -28$

$t = \frac{9 \pm \sqrt{113 + 4k}}{2}$ に $k=-28$ を代入すると、

$t = \frac{9 \pm \sqrt{113 - 112}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2} = 5, 4$

$t=4$ のとき、$x = -\log_3 2$

$t = 5$ のとき、$4 \cdot 3^x + 3^{-x} = 5$

$4 \cdot (3^x)^2 - 5 \cdot 3^x + 1 = 0$

$(4 \cdot 3^x - 1)(3^x - 1) = 0$

$3^x = \frac{1}{4}$ または $3^x = 1$

$x = \log_3 \frac{1}{4} = - \log_3 4$ または $x = 0$

よって、$k = -28$ であり、3つの実数解は $x = -\log_3 4, -\log_3 2, 0$ である。

3. 最終的な答え

(1) $t$ の最小値は 4 で、そのとき $x = -\log_3 2$

(2) $f(x) = t^2 - 9t - 8$

(3) $k = -28$ であり、3つの実数解は $x = -\log_3 4, -\log_3 2, 0$