一辺の長さが8cmの正三角形ABCにおいて、辺BCの中点をD、BE = 6cmとなる点をEとする。 (i) 線分ADの長さを求める。 (ii) 線分AEの長さを求める。 (iii) 点Bから線分AEに下ろした垂線の足をHとするとき、線分BHの長さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが8cmの正三角形ABCにおいて、辺BCの中点をD、BE = 6cmとなる点をEとする。

(i) 線分ADの長さを求める。

(ii) 線分AEの長さを求める。

(iii) 点Bから線分AEに下ろした垂線の足をHとするとき、線分BHの長さを求める。

2. 解き方の手順

(i) 線分ADの長さを求める。

三角形ABDは直角三角形であり、$AB = 8, BD = 4$である。三平方の定理より、

$AD^2 + BD^2 = AB^2$

$AD^2 + 4^2 = 8^2$

$AD^2 = 64 - 16 = 48$

$AD = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

(ii) 線分AEの長さを求める。

余弦定理を用いて三角形ABEでAEの長さを求める。$\angle ABE = 60^\circ, AB = 8, BE = 6$より

$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2AB \cdot BE \cos 60^\circ$

$AE^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}$

$AE^2 = 64 + 36 - 48 = 52$

$AE = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

(iii) 線分BHの長さを求める。

三角形ABEの面積を2通りの方法で表す。

$\frac{1}{2} AB \cdot BE \sin 60^\circ = \frac{1}{2} AE \cdot BH$

$8 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{13} \cdot BH$

$24\sqrt{3} = 2\sqrt{13} \cdot BH$

$BH = \frac{24\sqrt{3}}{2\sqrt{13}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{12\sqrt{39}}{13}$

3. 最終的な答え

(i) $AD = 4\sqrt{3}$ cm

(ii) $AE = 2\sqrt{13}$ cm

(iii) $BH = \frac{12\sqrt{39}}{13}$ cm