与えられた式 $(b+c)(c+a)(a+b) + abc$ を展開し、因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(b+c)(c+a)(a+b) + abc$ を展開し、因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(b+c)(c+a)(a+b)$ を展開します。

\begin{align*}

(b+c)(c+a)(a+b) &= (bc+ba+c^2+ca)(a+b) \\

&= abc + b^2c + a^2b + ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2c + abc \\

&= 2abc + b^2c + a^2b + ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2c

\end{align*}

これに $abc$ を加えると、

\begin{align*}

(b+c)(c+a)(a+b) + abc &= 2abc + b^2c + a^2b + ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2c + abc \\

&= 3abc + b^2c + a^2b + ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2c

\end{align*}

次に、この式を整理します。

\begin{align*}

3abc + b^2c + a^2b + ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2c &= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc \\

&= a^2(b+c) + a(b^2+c^2+3bc) + bc(b+c) \\

&= a^2(b+c) + a(b^2+2bc+c^2+bc) + bc(b+c) \\

&= a^2(b+c) + a((b+c)^2+bc) + bc(b+c) \\

&= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + abc + bc(b+c) \\

&= a(b+c)[a + (b+c)] + bc(a + b+c) \\

&= (a+b+c)(ab+ac) + bc(a+b+c) \\

&= (a+b+c)(ab+ac+bc)

\end{align*}

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$