与えられた連分数を計算し、その結果を求める問題です。連分数は以下の通りです。 $ \frac{u^2}{1 + \frac{u}{a}} - \frac{u}{1 - \frac{u}{na}} $

1. 問題の内容

与えられた連分数を計算し、その結果を求める問題です。連分数は以下の通りです。

$\frac{u^2}{1 + \frac{u}{a}} - \frac{u}{1 - \frac{u}{na}}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を整理します。

$\frac{u}{a}$ および $\frac{u}{na}$を含む分母を通分します。

最初の分数について、分母を整理します。

$1 + \frac{u}{a} = \frac{a + u}{a}$

よって、最初の分数は次のようになります。

$\frac{u^2}{\frac{a + u}{a}} = \frac{u^2 a}{a + u}$

次に、2番目の分数について、分母を整理します。

$1 - \frac{u}{na} = \frac{na - u}{na}$

よって、2番目の分数は次のようになります。

$\frac{u}{\frac{na - u}{na}} = \frac{una}{na - u} = \frac{anu}{na - u}$

したがって、元の式は次のようになります。

$\frac{u^2 a}{a + u} - \frac{anu}{na - u}$

この2つの分数を引き算するには、通分する必要があります。 共通の分母は $(a + u)(na - u)$ となります。

$\frac{u^2 a(na - u) - anu(a + u)}{(a + u)(na - u)}$

分子を展開します。

$\frac{anu^2 a - u^3 a - a^2 nu - anu^2}{(a + u)(na - u)}$

$\frac{a^2 nu^2 - u^3 a - a^2 nu - anu^2}{(a + u)(na - u)}$

分子を整理します。

$\frac{a^2nu^2 - anu^2 - u^3a - a^2nu}{(a + u)(na - u)}$

$\frac{anu^2(a - 1) - au(u^2 + an)}{(a + u)(na - u)}$

分母を展開します。

$(a + u)(na - u) = ana - au + nu a - u^2 = ana + (n-1)ua - u^2$

したがって、最終的な式は次のようになります。

$\frac{a^2nu^2 - u^3 a - a^2 nu - anu^2}{ana + (n-1)ua - u^2}$

$\frac{anu(au - u^2 - a - u)}{ana + (n-1)ua - u^2}$

これ以上簡略化できるかどうかは、$a, n, u$ の値に依存します。

問題文からこれ以上の簡略化は難しいと判断し、展開した状態のものを最終的な答えとします。

3. 最終的な答え

$\frac{a^2nu^2 - u^3 a - a^2 nu - anu^2}{ana + (n-1)ua - u^2}$