(1) $6x^2-5x-21$ を因数分解せよ。 (2) $(a+2b-3)(a-2b+3)$ を展開し、整理せよ。 (3) $\sqrt{7}-2+\sqrt{7}-3$ を計算し、簡単にせよ。 (4) 連立不等式 $$\begin{cases} \frac{5}{6}x-\frac{1}{3}<\frac{x+1}{2} \\ \frac{4x+3}{2}\leq 4x-1 \end{cases}$$ の解を求めよ。 (5) $a+b=2\sqrt{5}$, $ab=-7$ のとき, $a^2+b^2-3ab$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $6x^2-5x-21$ を因数分解せよ。

(2) $(a+2b-3)(a-2b+3)$ を展開し、整理せよ。

(3) $\sqrt{7}-2+\sqrt{7}-3$ を計算し、簡単にせよ。

(4) 連立不等式

$$$$

\begin{cases}

\frac{5}{6}x-\frac{1}{3}<\frac{x+1}{2} \\

\frac{4x+3}{2}\leq 4x-1

\end{cases}

$$$$

の解を求めよ。

(5) $a+b=2\sqrt{5}$, $ab=-7$ のとき, $a^2+b^2-3ab$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $6x^2-5x-21$を因数分解します。

$6x^2-5x-21 = (2x-3)(3x+7)$

(2) $(a+2b-3)(a-2b+3)$ を展開します。

$(a+2b-3)(a-2b+3) = (a+(2b-3))(a-(2b-3)) = a^2 - (2b-3)^2 = a^2 - (4b^2 - 12b + 9) = a^2 - 4b^2 + 12b - 9$

(3) $\sqrt{7}-2+\sqrt{7}-3$ を計算します。

$\sqrt{7}-2+\sqrt{7}-3 = 2\sqrt{7} - 5$

(4) 連立不等式を解きます。

$$$$

\begin{cases}

\frac{5}{6}x-\frac{1}{3}<\frac{x+1}{2} \\

\frac{4x+3}{2}\leq 4x-1

\end{cases}

$$$$

上の式に6をかけて $5x-2<3x+3$, よって $2x<5$, $x<\frac{5}{2}$

下の式に2をかけて $4x+3\leq 8x-2$, よって $5\leq 4x$, $x\geq \frac{5}{4}$

したがって、$\frac{5}{4}\leq x < \frac{5}{2}$

(5) $a^2+b^2-3ab$ を求めます。

$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$

$a^2+b^2-3ab = (a+b)^2 - 2ab - 3ab = (a+b)^2 - 5ab = (2\sqrt{5})^2 - 5(-7) = 4(5) + 35 = 20+35 = 55$

3. 最終的な答え

(1) $(2x-3)(3x+7)$

(2) $a^2-4b^2+12b-9$

(3) $2\sqrt{7}-5$

(4) $\frac{5}{4}\leq x < \frac{5}{2}$

(5) $55$