与えられた2次方程式 $x^2 - (k+1)x + k^2 = 0$ の解を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $x^2 - (k+1)x + k^2 = 0$ の解を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、解の公式を用いて次のように求められる。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

与えられた方程式 $x^2 - (k+1)x + k^2 = 0$ において、$a=1$, $b=-(k+1)$, $c=k^2$ である。

これを解の公式に代入すると、

$x = \frac{(k+1) \pm \sqrt{(-(k+1))^2 - 4(1)(k^2)}}{2(1)}$

$x = \frac{(k+1) \pm \sqrt{(k+1)^2 - 4k^2}}{2}$

$x = \frac{(k+1) \pm \sqrt{k^2 + 2k + 1 - 4k^2}}{2}$

$x = \frac{(k+1) \pm \sqrt{-3k^2 + 2k + 1}}{2}$

$x = \frac{(k+1) \pm \sqrt{-(3k+1)(k-1)}}{2}$

判別式 $D = -3k^2 + 2k + 1 = -(3k+1)(k-1)$ が0以上である必要がある。

$D \ge 0$ より、$(3k+1)(k-1) \le 0$ となる。

これは $-1/3 \le k \le 1$ を意味する。

$x = \frac{k+1 \pm \sqrt{-3k^2 + 2k + 1}}{2}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{k+1 \pm \sqrt{-3k^2 + 2k + 1}}{2}$

ただし、$-1/3 \le k \le 1$。