与えられた2次関数の最小値を求めよ、ただし問題文は $\frac{1}{2}x^2 - x + 3$ である。

1. 問題の内容

与えられた2次関数の最小値を求めよ、ただし問題文は $\frac{1}{2}x^2 - x + 3$ である。

2. 解き方の手順

この2次関数を平方完成させて、頂点の座標を求めることで最小値を求める。

まず、$x^2$ の項の係数でくくる：

$\frac{1}{2} (x^2 - 2x) + 3$

次に、括弧の中を平方完成させるために、$x$ の係数の半分を2乗したものを足して引く。$x$ の係数は -2 なので、その半分は -1 で、その2乗は 1 である。

$\frac{1}{2} (x^2 - 2x + 1 - 1) + 3$

括弧の中を整理する：

$\frac{1}{2} ((x - 1)^2 - 1) + 3$

分配法則を用いて、括弧を外す：

$\frac{1}{2}(x - 1)^2 - \frac{1}{2} + 3$

定数項を計算する：

$\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{5}{2}$

これで平方完成された形になった。頂点の座標は $(1, \frac{5}{2})$ である。$x^2$ の係数が正なので、この関数は下に凸の放物線であり、頂点で最小値を取る。

3. 最終的な答え

最小値：$\frac{5}{2}$