2次関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ の $0 \le x \le 1$ における最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ の $0 \le x \le 1$ における最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 2x + 1 = -(x^2 - 2x) + 1 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = -(x-1)^2 + 1 + 1 = -(x-1)^2 + 2$

したがって、$y = -(x-1)^2 + 2$ となります。

これは、頂点が $(1, 2)$ で上に凸の放物線です。

定義域は $0 \le x \le 1$ なので、頂点の $x$ 座標である $x=1$ が定義域に含まれています。

したがって、$x=1$ のとき、最大値 $y=2$ をとります。

次に、定義域の端点である $x=0$ のときの $y$ の値を計算します。

$x=0$ のとき、$y = -(0-1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$ となります。

定義域の端点は $x=0$ と $x=1$ であり、$x=0$ で $y=1$, $x=1$ で $y=2$ であることから、$x=0$ で最小値 $y=1$ をとります。

3. 最終的な答え

最大値：$x=1$ のとき $2$

最小値：$x=0$ のとき $1$