$k$を実数とするとき、以下の2次方程式の解を判別せよ。 (1) $x^2 - (k+1)x + k^2 = 0$ (2) $kx^2 - 2kx + 2k + 1 = 0$

1. 問題の内容

$k$を実数とするとき、以下の2次方程式の解を判別せよ。

(1) $x^2 - (k+1)x + k^2 = 0$

(2) $kx^2 - 2kx + 2k + 1 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - (k+1)x + k^2 = 0$の判別式を$D_1$とすると、

$D_1 = (k+1)^2 - 4(1)(k^2) = k^2 + 2k + 1 - 4k^2 = -3k^2 + 2k + 1$

$D_1 = -3k^2 + 2k + 1 = -(3k+1)(k-1)$

$D_1 > 0$のとき、$-(3k+1)(k-1) > 0$より、$(3k+1)(k-1) < 0$

$-\frac{1}{3} < k < 1$のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$D_1 = 0$のとき、$k = -\frac{1}{3}, 1$のとき、重解を持つ。

$D_1 < 0$のとき、$k < -\frac{1}{3}, k > 1$のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

(2) $kx^2 - 2kx + 2k + 1 = 0$について考える。

$k = 0$のとき、$0x^2 - 0x + 1 = 0$となり、$1 = 0$となるので解なし。

$k \neq 0$のとき、2次方程式であるので判別式を$D_2$とすると、

$D_2/4 = (-k)^2 - k(2k+1) = k^2 - 2k^2 - k = -k^2 - k = -k(k+1)$

$D_2/4 > 0$のとき、$-k(k+1) > 0$より、$k(k+1) < 0$

$-1 < k < 0$のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$D_2/4 = 0$のとき、$k = 0, -1$

$k = -1$のとき、重解を持つ。($k=0$は除外)

$D_2/4 < 0$のとき、$k < -1, k > 0$のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

まとめると

$k=0$のとき、解なし。

$-1 < k < 0$のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$k = -1$のとき、重解を持つ。

$k < -1, k > 0$のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

3. 最終的な答え

(1)

$-\frac{1}{3} < k < 1$のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$k = -\frac{1}{3}, 1$のとき、重解を持つ。

$k < -\frac{1}{3}, k > 1$のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

(2)

$k=0$のとき、解なし。

$-1 < k < 0$のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$k = -1$のとき、重解を持つ。

$k < -1, k > 0$のとき、異なる2つの虚数解を持つ。