問題7は、与えられた分数式の分子の次数を下げよという問題です。 問題8は、整式 $P(x)$ を $x-2$ で割った余りが3、$x+1$ で割った余りが-9であるとき、$P(x)$ を $(x-2)(x+1)$ で割った余りを求めよという問題です。

1. 問題の内容

問題7は、与えられた分数式の分子の次数を下げよという問題です。

問題8は、整式 $P(x)$ を $x-2$ で割った余りが3、$x+1$ で割った余りが-9であるとき、$P(x)$ を $(x-2)(x+1)$ で割った余りを求めよという問題です。

2. 解き方の手順

問題7

(1) 分子 $x^3 - 1$ を分母 $x^2 + 1$ で割ります。

$x^3 - 1 = (x^2 + 1)x - x - 1$

したがって、

$\frac{x^3 - 1}{x^2 + 1} = x - \frac{x+1}{x^2 + 1}$

(2) 分子 $3x^4 + 2x^2 - 1$ を分母 $x^2 + x + 1$ で割ります。

$3x^4 + 2x^2 - 1 = (x^2 + x + 1)(3x^2 - 3x - 1) + 4x$

したがって、

$\frac{3x^4 + 2x^2 - 1}{x^2 + x + 1} = 3x^2 - 3x - 1 + \frac{4x}{x^2 + x + 1}$

問題8

$P(x)$ を $x-2$ で割った余りが3であるから、$P(2) = 3$

$P(x)$ を $x+1$ で割った余りが-9であるから、$P(-1) = -9$

$P(x)$ を $(x-2)(x+1)$ で割ったときの余りを $ax + b$ とすると、

$P(x) = (x-2)(x+1)Q(x) + ax + b$

とおけます。

$P(2) = 2a + b = 3$

$P(-1) = -a + b = -9$

2つの式を連立させて $a$ と $b$ を求めます。

$2a + b = 3$

$-a + b = -9$

上の式から下の式を引くと、

$3a = 12$

$a = 4$

$b = a - 9 = 4 - 9 = -5$

したがって、$P(x)$ を $(x-2)(x+1)$ で割った余りは $4x - 5$ です。

3. 最終的な答え

問題7

(1) $x - \frac{x+1}{x^2 + 1}$

(2) $3x^2 - 3x - 1 + \frac{4x}{x^2 + x + 1}$

問題8

$4x - 5$