次の不等式を証明し、等号が成立するための必要十分条件を求めよ。 (3) $2x^2 + 3xy + 2y^2 \ge 0$ (4) $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \ge 0$ (5) $a \ge 0, b \ge 0$ のとき $\sqrt{a} + 2\sqrt{b} \ge \sqrt{a + 4b}$

1. 問題の内容

次の不等式を証明し、等号が成立するための必要十分条件を求めよ。

(3) $2x^2 + 3xy + 2y^2 \ge 0$

(4) $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \ge 0$

(5) $a \ge 0, b \ge 0$ のとき $\sqrt{a} + 2\sqrt{b} \ge \sqrt{a + 4b}$

2. 解き方の手順

(3)

$2x^2 + 3xy + 2y^2 \ge 0$ を示す。

$2x^2 + 3xy + 2y^2 = 2(x^2 + \frac{3}{2}xy) + 2y^2 = 2(x + \frac{3}{4}y)^2 - 2(\frac{9}{16}y^2) + 2y^2 = 2(x + \frac{3}{4}y)^2 + \frac{7}{8}y^2$

ここで、$2(x + \frac{3}{4}y)^2 \ge 0$ かつ $\frac{7}{8}y^2 \ge 0$ であるから、$2(x + \frac{3}{4}y)^2 + \frac{7}{8}y^2 \ge 0$ である。

よって、$2x^2 + 3xy + 2y^2 \ge 0$ が成立する。

等号成立条件は、$2(x + \frac{3}{4}y)^2 = 0$ かつ $\frac{7}{8}y^2 = 0$ である必要がある。

$\frac{7}{8}y^2 = 0$ より $y=0$。

$x + \frac{3}{4}y = 0$ に $y=0$ を代入すると、$x = 0$ となる。

よって、等号成立条件は、$x = 0$ かつ $y = 0$ である。

(4)

$x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \ge 0$ を示す。

$2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2) = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2$

$(x-y)^2 \ge 0, (y-z)^2 \ge 0, (z-x)^2 \ge 0$ であるから、

$(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \ge 0$ が成立する。

したがって、$x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \ge 0$ が成立する。

等号成立条件は、$x-y = 0, y-z = 0, z-x = 0$ である必要がある。

$x = y, y = z, z = x$ より、$x = y = z$ となる。

(5)

$a \ge 0, b \ge 0$ のとき $\sqrt{a} + 2\sqrt{b} \ge \sqrt{a + 4b}$ を示す。

$(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})^2 = a + 4\sqrt{ab} + 4b$

$(\sqrt{a + 4b})^2 = a + 4b$

$(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a + 4b})^2 = a + 4\sqrt{ab} + 4b - (a + 4b) = 4\sqrt{ab}$

$a \ge 0, b \ge 0$ より、$4\sqrt{ab} \ge 0$ であるから、$(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})^2 \ge (\sqrt{a + 4b})^2$ が成立する。

$\sqrt{a} + 2\sqrt{b} \ge 0, \sqrt{a+4b} \ge 0$ より、$\sqrt{a} + 2\sqrt{b} \ge \sqrt{a + 4b}$ が成立する。

等号成立条件は、$4\sqrt{ab} = 0$ である必要がある。

$4\sqrt{ab} = 0$ より、$ab = 0$ となる。

よって、$a=0$ または $b=0$ である。

3. 最終的な答え

(3) $2x^2 + 3xy + 2y^2 \ge 0$。等号成立条件：$x=0$ かつ $y=0$

(4) $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \ge 0$。等号成立条件：$x=y=z$

(5) $\sqrt{a} + 2\sqrt{b} \ge \sqrt{a + 4b}$。等号成立条件：$a=0$ または $b=0$