縦10cm、横11cmのブリキ板の四隅から同じ大きさの正方形を切り取り、それを折り曲げてふたのない容器を作ったとき、容積が84cm³であった。切り取った正方形の一辺の長さを求めよ。

1. 問題の内容

縦10cm、横11cmのブリキ板の四隅から同じ大きさの正方形を切り取り、それを折り曲げてふたのない容器を作ったとき、容積が84cm³であった。切り取った正方形の一辺の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

切り取る正方形の一辺の長さを $x$ cmとする。

容器の底面の縦の長さは $(10 - 2x)$ cm、横の長さは $(11 - 2x)$ cm、高さは $x$ cmとなる。

容器の容積は、底面積 × 高さ で計算できるので、

$$x(10 - 2x)(11 - 2x) = 84$$

展開して整理すると、

$$x(110 - 20x - 22x + 4x^2) = 84$$

$$x(110 - 42x + 4x^2) = 84$$

$$4x^3 - 42x^2 + 110x - 84 = 0$$

両辺を2で割ると、

$$2x^3 - 21x^2 + 55x - 42 = 0$$

$x$ は正の数で、$10 - 2x > 0$ および $11 - 2x > 0$ より、$x < 5$ である。

$x = 1, 2, 3, 4$ あたりを試してみる。

$x = 1$ のとき、$2 - 21 + 55 - 42 = -6 \ne 0$

$x = 2$ のとき、$2(8) - 21(4) + 55(2) - 42 = 16 - 84 + 110 - 42 = 0$

したがって、$x = 2$ は解の一つである。

$(x - 2)$ で因数分解すると、

$$2x^3 - 21x^2 + 55x - 42 = (x - 2)(2x^2 - 17x + 21) = 0$$

$$2x^2 - 17x + 21 = 0$$

$$(2x - 3)(x - 7) = 0$$

$x = \frac{3}{2} = 1.5$ または $x = 7$

ただし、$x < 5$ より、$x = 7$ は不適。

3. 最終的な答え

切り取った正方形の一辺の長さは2cmまたは1.5cm。

よって、2cmと1.5cm