与えられた4つの二次関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = -x^2 \quad (-2 \le x \le 3)$ (2) $y = x^2 + 4x \quad (-1 \le x \le 1)$ (3) $y = x^2 + 2x - 3 \quad (-3 \le x \le 1)$ (4) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x - 1 \quad (-2 \le x \le 5)$

はい、承知いたしました。以下の形式で、問題の解法と解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた4つの二次関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = -x^2 \quad (-2 \le x \le 3)$

(2) $y = x^2 + 4x \quad (-1 \le x \le 1)$

(3) $y = x^2 + 2x - 3 \quad (-3 \le x \le 1)$

(4) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x - 1 \quad (-2 \le x \le 5)$

2. 解き方の手順

各二次関数について、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。その後、定義域の範囲内で最大値と最小値を調べます。

(1) $y = -x^2$

頂点の座標は $(0, 0)$です。定義域 $-2 \le x \le 3$ 内で、$x = 0$ のとき最大値 $y = 0$ をとります。$x = 3$ のとき最小値 $y = -9$ をとります。

(2) $y = x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4$

頂点の座標は $(-2, -4)$です。定義域 $-1 \le x \le 1$ 内で、$x = -1$ のとき $y = (-1)^2 + 4(-1) = 1 - 4 = -3$、$x = 1$ のとき $y = 1^2 + 4(1) = 1 + 4 = 5$ です。したがって、$x = 1$ で最大値 $y = 5$、$x = -1$ で最小値 $y = -3$ をとります。

(3) $y = x^2 + 2x - 3 = (x + 1)^2 - 4$

頂点の座標は $(-1, -4)$です。定義域 $-3 \le x \le 1$ 内で、$x = -1$ のとき $y = -4$、$x = -3$ のとき $y = (-3)^2 + 2(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$、$x = 1$ のとき $y = 1^2 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$ です。したがって、$x = -3$ および $x = 1$ で最大値 $y = 0$、$x = -1$ で最小値 $y = -4$ をとります。

(4) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x - 1 = -\frac{1}{2}(x^2 - 4x) - 1 = -\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4 - 4) - 1 = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 2 - 1 = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 1$

頂点の座標は $(2, 1)$です。定義域 $-2 \le x \le 5$ 内で、$x = 2$ のとき最大値 $y = 1$ をとります。$x = -2$ のとき $y = -\frac{1}{2}(-2)^2 + 2(-2) - 1 = -2 - 4 - 1 = -7$、$x = 5$ のとき $y = -\frac{1}{2}(5)^2 + 2(5) - 1 = -\frac{25}{2} + 10 - 1 = -\frac{25}{2} + 9 = -\frac{7}{2} = -3.5$ です。したがって、$x = -2$ で最小値 $y = -7$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 0 (x = 0)、最小値: -9 (x = 3)

(2) 最大値: 5 (x = 1)、最小値: -3 (x = -1)

(3) 最大値: 0 (x = -3, 1)、最小値: -4 (x = -1)

(4) 最大値: 1 (x = 2)、最小値: -7 (x = -2)