$a, b$ は実数である。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 20 = 0$ が $1-3i$ を解にもつとき、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数である。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 20 = 0$ が $1-3i$ を解にもつとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$a, b$ が実数なので、$1-3i$ が解ならば、共役複素数である $1+3i$ も解である。

3つの解を $1-3i$, $1+3i$, $\alpha$ とすると、解と係数の関係から、

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(1-3i) + (1+3i) + \alpha = -a \\

(1-3i)(1+3i) + (1-3i)\alpha + (1+3i)\alpha = b \\

(1-3i)(1+3i)\alpha = 20

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となる。

まず、3つ目の式から $\alpha$ を求める。

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(1-3i)(1+3i) = 1^2 - (3i)^2 = 1 - 9i^2 = 1 + 9 = 10

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よって、

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10\alpha = 20 \\

\alpha = 2

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次に、一つ目の式から $a$ を求める。

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(1-3i) + (1+3i) + \alpha = 1-3i + 1+3i + 2 = 4

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よって、

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4 = -a \\

a = -4

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最後に、$b$ を求める。（$b$ は問われていないが、確認のため）

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(1-3i)(1+3i) + (1-3i)\alpha + (1+3i)\alpha = 10 + \alpha(1-3i+1+3i) = 10 + \alpha(2) = 10 + 2\alpha

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$\alpha = 2$ を代入して、

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b = 10 + 2(2) = 10 + 4 = 14

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したがって、$a = -4$ である。

3. 最終的な答え

$a = -4$