与えられた各組のベクトルが1次独立であるか、1次従属であるかを判定する問題です。

1. 問題の内容

与えられた各組のベクトルが1次独立であるか、1次従属であるかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

各組のベクトルに対して、それらを列ベクトルとする行列を作り、その行列の行列式を計算します。

行列式が0でなければベクトルは1次独立であり、行列式が0ならばベクトルは1次従属です。

3つ以上のベクトルがある場合、行列式を計算する前に、行基本変形を用いて行列を簡約化すると、計算が楽になる場合があります。

(1)

行列を作ると

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

行列式は

$1 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - 0 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + 0 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = 1$

行列式が0でないので、1次独立。

(2)

行列を作ると

$\begin{bmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & -3 \end{bmatrix}$

行列式は

$3(1 \cdot (-3) - 4 \cdot 3) - 2(2 \cdot (-3) - 4 \cdot 1) + 5(2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) = 3(-3 - 12) - 2(-6 - 4) + 5(6 - 1) = -45 + 20 + 25 = 0$

行列式が0なので、1次従属。

(3)

行列を作ると

$\begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 & 2 \\ 4 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

4つの3次元ベクトルなので、必ず1次従属。

(4)

行列を作ると

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

行列式は

$2(1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 1(1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) + 1(1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = 2(1 - 4) - 1(1 - 2) + 1(2 - 1) = -6 + 1 + 1 = -4$

行列式が0でないので、1次独立。

(5)

行列を作ると

$\begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & -5 \end{bmatrix}$

4つの3次元ベクトルなので、必ず1次従属。

(6)

行列を作ると

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 & -1 \\ 4 & 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

4つの4次元ベクトルなので、1次独立である可能性があり、行列式を計算するか、行基本変形によって簡約化してランクを調べる必要があります。

1行目を-2倍して3行目に足し、1行目を-4倍して4行目に足します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & -8 & 9 \end{bmatrix}$

2行目を2倍して3行目に足し、2行目を1倍して4行目に足します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -7 & 9 \end{bmatrix}$

3行目を7倍して4行目に足します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 30 \end{bmatrix}$

ランクが4なので、1次独立。

3. 最終的な答え

(1) 1次独立

(2) 1次従属

(3) 1次従属

(4) 1次独立

(5) 1次従属

(6) 1次独立