与えられたベクトル組に対して、以下の3つの問いに答えます。 (i) 1次独立なベクトルの最大個数 $r$ を求めます。 (ii) $r$ 個の1次独立なベクトルを、最初のものから順に求めます。 (iii) 他のベクトルを(ii)で求めたベクトルの1次結合で書き表します。 ここでは問題(1)のみを解きます。

1. 問題の内容

与えられたベクトル組に対して、以下の3つの問いに答えます。

(i) 1次独立なベクトルの最大個数 $r$ を求めます。

(ii) $r$ 個の1次独立なベクトルを、最初のものから順に求めます。

(iii) 他のベクトルを(ii)で求めたベクトルの1次結合で書き表します。

ここでは問題(1)のみを解きます。

2. 解き方の手順

(1)

$a_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}, a_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, a_3 = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 10 \\ 8 \end{bmatrix}, a_4 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, a_5 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

(i) 1次独立な最大個数 $r$ を求める。

行列 $A = [a_1, a_2, a_3, a_4, a_5]$ を作り、行基本変形を行い階段行列にする。

$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 5 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 10 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 8 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

まず1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 5 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 10 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 8 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引きます。

3行目から1行目の4倍を引きます。

4行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引きます。

4行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

3行目と4列目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

この階段行列の0でない行の数は3なので、1次独立なベクトルの最大個数 $r=3$ です。

(ii) $r=3$ 個の1次独立なベクトルを前のほうから順に求める。

$a_1, a_2, a_4$ が1次独立です。

(iii) 他のベクトルを(ii)のベクトルの1次結合で書き表す。

$a_3 = c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_4$ と表すことを考えます。

$\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 10 \\ 8 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$

この連立一次方程式を解きます。

$\begin{cases} 2c_1 + c_2 + c_3 = 5 \\ c_1 + c_3 = 3 \\ 4c_1 + 2c_2 + c_3 = 10 \\ 3c_1 + c_2 + 2c_3 = 8 \end{cases}$

2番目の式より $c_3 = 3 - c_1$

1番目の式に代入すると $2c_1 + c_2 + 3 - c_1 = 5$ つまり $c_1 + c_2 = 2$

3番目の式に代入すると $4c_1 + 2c_2 + 3 - c_1 = 10$ つまり $3c_1 + 2c_2 = 7$

4番目の式に代入すると $3c_1 + c_2 + 2(3 - c_1) = 8$ つまり $c_1 + c_2 = 2$

$c_1 + c_2 = 2$

$3c_1 + 2c_2 = 7$

より

$2c_1 + 2c_2 = 4$

$3c_1 + 2c_2 = 7$

引くと $c_1 = 3$

$c_2 = 2 - c_1 = 2 - 3 = -1$

$c_3 = 3 - c_1 = 3 - 3 = 0$

よって $a_3 = 3a_1 - a_2 + 0a_4 = 3a_1 - a_2$

$a_5 = d_1 a_1 + d_2 a_2 + d_3 a_4$

$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = d_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix} + d_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + d_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$

$\begin{cases} 2d_1 + d_2 + d_3 = 1 \\ d_1 + d_3 = 0 \\ 4d_1 + 2d_2 + d_3 = 1 \\ 3d_1 + d_2 + 2d_3 = 1 \end{cases}$

$d_3 = -d_1$

$2d_1 + d_2 - d_1 = 1$ つまり $d_1 + d_2 = 1$

$4d_1 + 2d_2 - d_1 = 1$ つまり $3d_1 + 2d_2 = 1$

$3d_1 + d_2 - 2d_1 = 1$ つまり $d_1 + d_2 = 1$

$d_1 + d_2 = 1$

$3d_1 + 2d_2 = 1$

より

$2d_1 + 2d_2 = 2$

$3d_1 + 2d_2 = 1$

引くと $d_1 = -1$

$d_2 = 1 - d_1 = 1 - (-1) = 2$

$d_3 = -d_1 = -(-1) = 1$

よって $a_5 = -a_1 + 2a_2 + a_4$

3. 最終的な答え

(i) 1次独立なベクトルの最大個数: 3

(ii) 1次独立なベクトル: $a_1, a_2, a_4$

(iii) 他のベクトルの1次結合: $a_3 = 3a_1 - a_2$, $a_5 = -a_1 + 2a_2 + a_4$