$(3x^2 + 1)^5$ の展開式における $x^6$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(3x^2 + 1)^5$ の展開式における $x^6$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式の一般項を考えます。

$(a+b)^n$ の展開式の一般項は ${}_n C_r a^{n-r} b^r$ です。

今回の問題では $a = 3x^2$, $b = 1$, $n = 5$ なので、一般項は ${}_5 C_r (3x^2)^{5-r} (1)^r$ となります。

$x^6$ の項を求めるので、 $x^{2(5-r)} = x^6$ となる $r$ を探します。

$2(5-r) = 6$ より、 $5-r = 3$ なので、$r = 2$ となります。

したがって、$x^6$ の項は ${}_5 C_2 (3x^2)^{5-2} (1)^2 = {}_5 C_2 (3x^2)^3$ です。

${}_5 C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ なので、${}_5 C_2 (3x^2)^3 = 10 \times (3^3 x^6) = 10 \times 27x^6 = 270x^6$ となります。

よって、$x^6$ の係数は 270 です。

3. 最終的な答え

270