$(x^2 - 2x)^5$ の展開式における $x^7$ の項の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$(x^2 - 2x)^5$ の展開式における $x^7$ の項の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式を考えます。

$(x^2 - 2x)^5$ の一般項は

$${}_5 C_r (x^2)^{5-r} (-2x)^r = {}_5 C_r x^{10-2r} (-2)^r x^r = {}_5 C_r (-2)^r x^{10-r}$$

$x^7$ の項を求めるので、 $10 - r = 7$ となる $r$ を求めます。

$10 - r = 7$ より、 $r = 3$。

したがって、$x^7$ の項は

$${}_5 C_3 (-2)^3 x^{10-3} = {}_5 C_3 (-2)^3 x^7 = {}_5 C_3 (-8) x^7$$

ここで、${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、

$${}_5 C_3 (-8) x^7 = 10 \times (-8) x^7 = -80x^7$$

よって、$x^7$ の係数は $-80$。

3. 最終的な答え

-80