与えられた不等式を証明し、等号が成立するための必要十分条件を求めます。 (3) $2x^2 + 3xy + 2y^2 \geq 0$ (4) $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \geq 0$ (5) $a \geq 0, b \geq 0$ のとき $\sqrt{a+2\sqrt{b}} \geq \sqrt{a+4b}$ が成り立つか。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた不等式を証明し、等号が成立するための必要十分条件を求めます。

(3) $2x^2 + 3xy + 2y^2 \geq 0$

(4) $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \geq 0$

(5) $a \geq 0, b \geq 0$ のとき $\sqrt{a+2\sqrt{b}} \geq \sqrt{a+4b}$ が成り立つか。

2. 解き方の手順

(3)

まず、与えられた式を平方完成します。

$2x^2 + 3xy + 2y^2 = 2(x^2 + \frac{3}{2}xy) + 2y^2 = 2(x + \frac{3}{4}y)^2 - 2(\frac{9}{16}y^2) + 2y^2 = 2(x + \frac{3}{4}y)^2 + \frac{7}{8}y^2$

$2(x + \frac{3}{4}y)^2 \geq 0$ かつ $\frac{7}{8}y^2 \geq 0$ なので、$2x^2 + 3xy + 2y^2 \geq 0$ は常に成り立ちます。

等号が成立するためには、$x + \frac{3}{4}y = 0$ かつ $y = 0$ である必要があります。

これは $x = 0$ かつ $y = 0$ を意味します。

(4)

同様に平方完成します。

$x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = \frac{1}{2}(2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx) = \frac{1}{2}[(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2)] = \frac{1}{2}[(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2]$

$(x-y)^2 \geq 0$, $(y-z)^2 \geq 0$, $(z-x)^2 \geq 0$ なので、$\frac{1}{2}[(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2] \geq 0$ は常に成り立ちます。

等号が成立するためには、$x-y = 0$, $y-z = 0$, $z-x = 0$ である必要があります。

これは $x = y = z$ を意味します。

(5)

$a \geq 0, b \geq 0$ のとき $\sqrt{a+2\sqrt{b}} \geq \sqrt{a+4b}$ が成り立つか確認します。

両辺を二乗すると、$a + 2\sqrt{b} \geq a + 4b$ となります。

これは $2\sqrt{b} \geq 4b$ を意味します。

両辺を二乗すると、$4b \geq 16b^2$ となり、$1 \geq 4b$ となります。

したがって、$b \leq \frac{1}{4}$ が必要です。

この不等式は一般的には成り立ちません。

例えば、$a = 0, b = 1$ のとき $\sqrt{0 + 2\sqrt{1}} = \sqrt{2}$ であり、$\sqrt{0 + 4(1)} = \sqrt{4} = 2$ なので、成り立ちません。

3. 最終的な答え

(3) $2x^2 + 3xy + 2y^2 \geq 0$. 等号成立の必要十分条件は $x = 0$ かつ $y = 0$.

(4) $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \geq 0$. 等号成立の必要十分条件は $x = y = z$.

(5) $\sqrt{a+2\sqrt{b}} \geq \sqrt{a+4b}$ は一般的には成り立たない。