与えられた数列の第 $k$ 項を $k$ の式で表し、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。 与えられた数列は $1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$ です。

1. 問題の内容

与えられた数列の第 $k$ 項を $k$ の式で表し、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。

与えられた数列は $1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$ です。

2. 解き方の手順

まず、数列の第 $k$ 項 $a_k$ を求めます。

第 $k$ 項は、初項 $1$ から始まり、公比 $3$ の等比数列の第 $k-1$ 項までの和に $1$ を加えたものです。

つまり、

$a_k = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{k-1}$

これは、初項 $1$, 公比 $3$, 項数 $k$ の等比数列の和なので、等比数列の和の公式より

$a_k = \frac{1(3^k - 1)}{3-1} = \frac{3^k - 1}{2}$

次に、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{3^k - 1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (3^k - 1)$

$= \frac{1}{2} (\sum_{k=1}^{n} 3^k - \sum_{k=1}^{n} 1)$

$= \frac{1}{2} (\frac{3(3^n - 1)}{3-1} - n)$

$= \frac{1}{2} (\frac{3(3^n - 1)}{2} - n)$

$= \frac{1}{2} (\frac{3^{n+1} - 3}{2} - n)$

$= \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{4}$

3. 最終的な答え

第 $k$ 項: $a_k = \frac{3^k - 1}{2}$

初項から第 $n$ 項までの和: $S_n = \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4}$