直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺ABとBCの長さの和が14cmであるとき、この直角三角形の面積の最大値を求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺ABとBCの長さの和が14cmであるとき、この直角三角形の面積の最大値を求める。

2. 解き方の手順

ABの長さを $x$ とすると、BCの長さは $14 - x$ と表せる。ここで、$0 < x < 14$ である。

直角三角形ABCの面積を $S$ とすると、

$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times x \times (14 - x) = \frac{1}{2} (14x - x^2)$

面積 $S$ を最大にする $x$ の値を求めるために、$S$ を $x$ の関数として平方完成する。

$S = \frac{1}{2} (-x^2 + 14x) = -\frac{1}{2} (x^2 - 14x)$

$S = -\frac{1}{2} (x^2 - 14x + 49 - 49) = -\frac{1}{2} ((x - 7)^2 - 49) = -\frac{1}{2} (x - 7)^2 + \frac{49}{2}$

$0 < x < 14$ の範囲において、$S$ は $x = 7$ のとき最大値 $\frac{49}{2}$ をとる。

したがって、面積の最大値は $\frac{49}{2}$ である。

3. 最終的な答え

$\frac{49}{2} \text{ cm}^2$