与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 頂点の座標と、通る点の座標が与えられた場合。 (2) 軸の方程式と、通る2点の座標が与えられた場合。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 頂点の座標と、通る点の座標が与えられた場合。

(2) 軸の方程式と、通る2点の座標が与えられた場合。

2. 解き方の手順

(1)

頂点の座標が$(-2, 4)$なので、2次関数は、$y = a(x + 2)^2 + 4$と表すことができます。このグラフが点$(-4, 2)$を通ることから、$x = -4, y = 2$を代入して$a$の値を求めます。

$2 = a(-4 + 2)^2 + 4$

$2 = 4a + 4$

$-2 = 4a$

$a = -\frac{1}{2}$

したがって、2次関数は、$y = -\frac{1}{2}(x + 2)^2 + 4$となります。これを展開して整理します。

$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4) + 4$

$y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x - 2 + 4$

$y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$

(2)

軸が直線$x = 2$なので、2次関数は、$y = a(x - 2)^2 + q$と表すことができます。このグラフが点$(-1, 5)$と$(1, -11)$を通ることから、$x = -1, y = 5$と$x = 1, y = -11$を代入して$a$と$q$の連立方程式を立てて解きます。

$5 = a(-1 - 2)^2 + q$

$5 = 9a + q$ (1)

$-11 = a(1 - 2)^2 + q$

$-11 = a + q$ (2)

(1) - (2)より、

$16 = 8a$

$a = 2$

(2)に$a = 2$を代入して、

$-11 = 2 + q$

$q = -13$

したがって、2次関数は、$y = 2(x - 2)^2 - 13$となります。これを展開して整理します。

$y = 2(x^2 - 4x + 4) - 13$

$y = 2x^2 - 8x + 8 - 13$

$y = 2x^2 - 8x - 5$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$

(2) $y = 2x^2 - 8x - 5$