2桁の自然数のうち、6の倍数または9の倍数である数の総和を求めよ。

1. 問題の内容

2桁の自然数のうち、6の倍数または9の倍数である数の総和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2桁の自然数のうち、6の倍数の総和を求めます。

2桁の自然数で最小の6の倍数は12、最大の6の倍数は96です。

6の倍数は等差数列をなすので、その和は、

$S_6 = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

ここで、$a_1=12$、$a_n=96$、$n$ は項数です。

$96 = 12 + (n-1)6$

$84 = (n-1)6$

$14 = n-1$

$n = 15$

したがって、6の倍数の総和は、

$S_6 = \frac{15}{2}(12 + 96) = \frac{15}{2}(108) = 15 \cdot 54 = 810$

次に、2桁の自然数のうち、9の倍数の総和を求めます。

2桁の自然数で最小の9の倍数は18、最大の9の倍数は99です。

9の倍数は等差数列をなすので、その和は、

$S_9 = \frac{m}{2}(b_1 + b_m)$

ここで、$b_1=18$、$b_m=99$、$m$ は項数です。

$99 = 18 + (m-1)9$

$81 = (m-1)9$

$9 = m-1$

$m = 10$

したがって、9の倍数の総和は、

$S_9 = \frac{10}{2}(18 + 99) = 5(117) = 585$

6の倍数かつ9の倍数、すなわち18の倍数の総和を求めます。

2桁の自然数で最小の18の倍数は18、最大の18の倍数は90です。

18の倍数は等差数列をなすので、その和は、

$S_{18} = \frac{k}{2}(c_1 + c_k)$

ここで、$c_1=18$、$c_k=90$、$k$ は項数です。

$90 = 18 + (k-1)18$

$72 = (k-1)18$

$4 = k-1$

$k = 5$

したがって、18の倍数の総和は、

$S_{18} = \frac{5}{2}(18 + 90) = \frac{5}{2}(108) = 5 \cdot 54 = 270$

求める和は、6の倍数の和と9の倍数の和を足し合わせ、重複している18の倍数の和を引くことで得られます。

$S = S_6 + S_9 - S_{18} = 810 + 585 - 270 = 1395 - 270 = 1125$

3. 最終的な答え

1125