与えられた命題「$x+y=0 \implies x \le 0$ または $y \le 0$」の裏の命題とその真偽を選択肢から選びます。

1. 問題の内容

与えられた命題「$x+y=0 \implies x \le 0$ または $y \le 0$」の裏の命題とその真偽を選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題の裏を求めます。命題「$P \implies Q$」の裏は「$\lnot P \implies \lnot Q$」です。ここで、$P$ は「$x+y=0$」であり、$Q$ は「$x \le 0$ または $y \le 0$」です。

したがって、$\lnot P$ は「$x+y \ne 0$」であり、$\lnot Q$ は「$\lnot (x \le 0 \text{ または } y \le 0)$」です。

$\lnot (x \le 0 \text{ または } y \le 0)$ は「$x > 0$ かつ $y > 0$」と同値です。

したがって、与えられた命題の裏は「$x+y \ne 0 \implies x > 0$ かつ $y > 0$」です。

次に、この裏の命題の真偽を考えます。例えば、$x = 1$ かつ $y = -2$ の場合、$x+y = -1 \ne 0$ ですが、$y > 0$ は成り立ちません。したがって、この命題は偽です。

選択肢を確認すると、選択肢③「$x+y \ne 0 \implies x > 0$ かつ $y > 0$」が求めた裏の命題と一致しており、かつ偽であると記述されています。

3. 最終的な答え

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