A, B, C, D, Eの5つの文字をすべて使ってできる順列を、ABCDEを1番目として辞書式に並べたとき、以下の問いに答える。 (1) 15番目の文字列を求めよ。 (2) CBEADは何番目の文字列か。

1. 問題の内容

A, B, C, D, Eの5つの文字をすべて使ってできる順列を、ABCDEを1番目として辞書式に並べたとき、以下の問いに答える。

(1) 15番目の文字列を求めよ。

(2) CBEADは何番目の文字列か。

2. 解き方の手順

(1) 15番目の文字列を求める。

まず、5つの文字を並べる順列の総数は $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$通りである。

1番目の文字がAである順列は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通り。

1番目の文字がBである順列も $4! = 24$通り。

1番目の文字がAであるものは1番目から24番目。

1番目の文字がBであるものは25番目から48番目。

したがって、15番目の文字列はAから始まる。

2番目の文字がBである順列は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$通り。

1番目の文字がAで、2番目の文字がBである順列は、ABCDE, ABCED, ABDCE, ABDEC, ABECD, ABEDCの6個である。

1番目の文字がAで、2番目の文字がCである順列も $3! = 6$通り。

1番目の文字がAで、2番目の文字がDである順列も $3! = 6$通り。

Aから始まり、次にB, C, Dが来る順列は、それぞれ6個ずつある。

ABC, ABD, ACE, ACD, ADE, AED

1番目の文字がAで、2番目の文字がBであるものは1番目から6番目。

1番目の文字がAで、2番目の文字がCであるものは7番目から12番目。

1番目の文字がAで、2番目の文字がDであるものは13番目から18番目。

したがって、15番目の文字列はADから始まる。

ADCEB, ADCBE, ADEBC, ADECB, AECBD, AECDB

3番目の文字がCである順列は $2! = 2$通り。

3番目の文字がEである順列は $2! = 2$通り。

3番目の文字がBである順列は $2! = 2$通り。

13番目と14番目はADBCから始まる。

したがって、15番目の文字列はADCから始まる。

3番目の文字がBであるものは13番目と14番目: ADBCE, ADBEC.

3番目の文字がCであるものは15番目と16番目: ADCBE, ADCEB

3番目の文字がEであるものは17番目と18番目: ADEBC, ADECB

15番目の文字列はADCBE。

(2) CBEADは何番目の文字列か。

Aから始まる順列は $4! = 24$個。

Bから始まる順列は $4! = 24$個。

Cから始まる順列を考える。

CAから始まる順列は $3! = 6$個。

CBから始まる順列を考える。

CBAから始まる順列は $2! = 2$個。

CBDから始まる順列は $2! = 2$個。

CBEから始まる順列を考える。

CBEADはCBEADより小さい順列はCBEADしかない。CBEADは1番目である。CBEADは、CBEAD自体。

Aから始まる順列: 24個

Bから始まる順列: 24個

CAから始まる順列: 6個

CBから始まる順列:

CBAから始まる順列: 2個

CBDから始まる順列: 2個

CBEADより小さい順列はCBEAD自体しかない。

したがって、

$24 + 24 + 6 + 2 + 2 + 1 = 59$

CBEADは59番目。

3. 最終的な答え

(1) 15番目の文字列: ADCBE

(2) CBEADは何番目: 59番目