$\sqrt{225-9n}$ が整数となるような自然数 $n$ は何個あるかを求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{225-9n}$ が整数となるような自然数 $n$ は何個あるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{225-9n}$ が整数になるためには、$225-9n$ が0以上の平方数である必要があります。

$225-9n \ge 0$ より、

$9n \le 225$

$n \le \frac{225}{9} = 25$

$n$は自然数なので、$1 \le n \le 25$を満たす必要があります。

$225 - 9n = k^2$ （$k$は0以上の整数）とします。

$9n = 225 - k^2$

$n = \frac{225 - k^2}{9}$

$n$が整数になるためには、$225 - k^2$ が9の倍数である必要があります。

$225$は9の倍数なので、$k^2$が9の倍数である必要があります。

つまり、$k$が3の倍数である必要があります。

$k = 3m$ （$m$は0以上の整数）とします。

$n = \frac{225 - (3m)^2}{9} = \frac{225 - 9m^2}{9} = 25 - m^2$

$n$は自然数なので、$n \ge 1$ でなければなりません。

$25 - m^2 \ge 1$

$m^2 \le 24$

$m$は0以上の整数なので、$m = 0, 1, 2, 3, 4$ が考えられます。

$m = 0$ のとき $n = 25 - 0^2 = 25$

$m = 1$ のとき $n = 25 - 1^2 = 24$

$m = 2$ のとき $n = 25 - 2^2 = 21$

$m = 3$ のとき $n = 25 - 3^2 = 16$

$m = 4$ のとき $n = 25 - 4^2 = 9$

したがって、$n$は25, 24, 21, 16, 9の5つの値をとります。

3. 最終的な答え

5個