48人の子供が2つのクイズを解いた。1番ができた子供は32人、2番ができた子供は26人だった。 このとき、1題もできなかった子供の人数、2題ともできた子供の人数、1番だけできた子供の人数、2番だけできた子供の人数について、それぞれの上限と下限を求める問題。 特に聞かれているのは2番だけできた子供の人数上限〈オ〉である。

1. 問題の内容

48人の子供が2つのクイズを解いた。1番ができた子供は32人、2番ができた子供は26人だった。

このとき、1題もできなかった子供の人数、2題ともできた子供の人数、1番だけできた子供の人数、2番だけできた子供の人数について、それぞれの上限と下限を求める問題。 特に聞かれているのは2番だけできた子供の人数上限〈オ〉である。

2. 解き方の手順

まず、集合の考え方を用いて問題を解く。

全体の人数を $N$、1番ができた人数を $A$、2番ができた人数を $B$、両方できた人数を $x$ とする。

$N = 48$

$A = 32$

$B = 26$

1題もできなかった子供の人数は、$N - (A + B - x)$ である。

$A \cup B = A + B - A \cap B$

$A \cup B = 32 + 26 - x = 58 - x$

1題もできなかった子供の人数は、$48 - (58 - x) = x - 10$

1題もできなかった子供の人数は0人以上なので、$x - 10 \ge 0$より、$x \ge 10$

2題ともできた子供の人数は10人以上いる。〈イ〉の答え

2題ともできた子供の人数の上限は、$A$と$B$のうち小さい方の値である。$x \le \min(A, B) = \min(32, 26) = 26$

$10 \le x \le 26$

1番だけできた子供の人数は、$A - x = 32 - x$。

$32 - 26 \le 32 - x \le 32 - 10$

$6 \le 32 - x \le 22$

1番だけできた子供の人数は6人以上22人以下である。〈ウ〉〈エ〉の答え

2番だけできた子供の人数は、$B - x = 26 - x$。

2番だけできた子供の人数の上限は、$x$が最小の時である。つまり、$x=10$ の時。

$26 - 10 = 16$

2番だけできた子供の人数は16人以下である。〈オ〉の答え

3. 最終的な答え

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