$\sqrt{450a}$ が自然数となるような $a$ の値を、選択肢 (ア)12 (イ)14 (ウ)16 (エ)18 (オ)20 の中から選ぶ。

1. 問題の内容

$\sqrt{450a}$ が自然数となるような $a$ の値を、選択肢 (ア)12 (イ)14 (ウ)16 (エ)18 (オ)20 の中から選ぶ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{450a}$ が自然数になるためには、$450a$ が平方数 (ある整数の2乗) にならなければなりません。

まず、450を素因数分解します。

$450 = 2 \times 225 = 2 \times 3^2 \times 25 = 2 \times 3^2 \times 5^2$

したがって、

$450 = 2 \times 3^2 \times 5^2$

$\sqrt{450a} = \sqrt{2 \times 3^2 \times 5^2 \times a}$

$\sqrt{450a}$ が自然数になるためには、$2 \times a$ が平方数になる必要があります。つまり、$a$ は2の倍数でなければなりません。

選択肢の中から、2の倍数であるものを選びます。

(ア) 12, (ウ) 16, (エ) 18, (オ) 20 はすべて2の倍数です。

次に、各選択肢について $\sqrt{450a}$ が自然数になるかどうかを確認します。

(ア) $a=12$ のとき、$\sqrt{450 \times 12} = \sqrt{5400} = \sqrt{2^3 \times 3^3 \times 5^2} = 30\sqrt{6}$ となり、自然数ではありません。

(イ) $a=14$ は2の倍数ではないので除外します。

(ウ) $a=16$ のとき、$\sqrt{450 \times 16} = \sqrt{7200} = \sqrt{2^5 \times 3^2 \times 5^2} = 60\sqrt{2}$ となり、自然数ではありません。

(エ) $a=18$ のとき、$\sqrt{450 \times 18} = \sqrt{8100} = \sqrt{2 \times 3^4 \times 5^2} = \sqrt{(3^2 \times 5)^2 \times 2} = \sqrt{90^2} = 90$ となり、自然数です。

(オ) $a=20$ のとき、$\sqrt{450 \times 20} = \sqrt{9000} = \sqrt{2^3 \times 3^2 \times 5^3} = 30\sqrt{10}$となり、自然数ではありません。

したがって、$a=18$ のとき $\sqrt{450a}$ は自然数となります。

3. 最終的な答え

(エ) 18