以下の4つの問題を解きます。 (1) 100以下の自然数のうち、3の倍数の総和を求める。 (2) 1から1300までの整数のうち、6でも8でも割り切れない整数の個数を、選択肢から選ぶ。 (3) 3桁の奇数において、15の倍数の個数を、選択肢から選ぶ。 (4) 1から100までの整数のうち、3でも4でも割り切れない数の個数を、選択肢から選ぶ。

1. 問題の内容

以下の4つの問題を解きます。

(1) 100以下の自然数のうち、3の倍数の総和を求める。

(2) 1から1300までの整数のうち、6でも8でも割り切れない整数の個数を、選択肢から選ぶ。

(3) 3桁の奇数において、15の倍数の個数を、選択肢から選ぶ。

(4) 1から100までの整数のうち、3でも4でも割り切れない数の個数を、選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 100以下の3の倍数は、3, 6, 9, ..., 99。これは初項3、公差3、項数33の等差数列である。等差数列の和の公式を用いて計算する。

和 $S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

$S = \frac{33(3 + 99)}{2} = \frac{33 \times 102}{2} = 33 \times 51 = 1683$

(2) 1から1300までの整数のうち、6の倍数の個数は $\lfloor \frac{1300}{6} \rfloor = 216$。8の倍数の個数は $\lfloor \frac{1300}{8} \rfloor = 162$。6と8の最小公倍数は24なので、24の倍数の個数は $\lfloor \frac{1300}{24} \rfloor = 54$。

6の倍数または8の倍数の個数は $216 + 162 - 54 = 324$。

6でも8でも割り切れない整数の個数は $1300 - 324 = 976$。

(3) 3桁の奇数は、101, 103, ..., 999。このうち、15の倍数であるものを探す。15の倍数は5の倍数かつ3の倍数である。3桁の奇数で15の倍数であるためには、下1桁が5である必要がある。つまり、105, 135, 165, ..., 975, 945, 915, 885, 855, 825, 795, 765, 735, 705, 675, 645, 615, 585, 555, 525, 495, 465, 435, 405, 375, 345, 315, 285, 255, 225, 195, 165, 135, 105。

これらの数は、105 = 15 * 7, 975 = 15 * 65。なので、7から65までの奇数の個数を数えれば良い。

$(65 - 7) / 2 + 1 = 58 / 2 + 1 = 29 + 1 = 30$

(4) 1から100までの整数のうち、3の倍数の個数は $\lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$。4の倍数の個数は $\lfloor \frac{100}{4} \rfloor = 25$。3と4の最小公倍数は12なので、12の倍数の個数は $\lfloor \frac{100}{12} \rfloor = 8$。

3の倍数または4の倍数の個数は $33 + 25 - 8 = 50$。

3でも4でも割り切れない整数の個数は $100 - 50 = 50$。

3. 最終的な答え

(1) 1683

(2) (イ) 976

(3) (エ) 30

(4) (ウ) 50個