$\|a\| = 1$, $\|b\| = 2$, $\|2a - 3b\| = 2\sqrt{13}$のとき、以下の問題を解きます。 (1) $a \cdot b$ を求めよ。 (2) $a$ と $b$ のなす角を求めよ。

1. 問題の内容

$\|a\| = 1$, $\|b\| = 2$, $\|2a - 3b\| = 2\sqrt{13}$のとき、以下の問題を解きます。

(1) $a \cdot b$ を求めよ。

(2) $a$ と $b$ のなす角を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a \cdot b$ を求める。

まず、$\|2a - 3b\|^2 = (2\sqrt{13})^2$ であることを利用する。

$\|2a - 3b\|^2 = (2a - 3b) \cdot (2a - 3b) = 4\|a\|^2 - 12a \cdot b + 9\|b\|^2$

これより、

$4\|a\|^2 - 12a \cdot b + 9\|b\|^2 = 4(1)^2 - 12a \cdot b + 9(2)^2 = 4 - 12a \cdot b + 36 = 40 - 12a \cdot b$

また、$(2\sqrt{13})^2 = 4 \times 13 = 52$

したがって、$40 - 12a \cdot b = 52$

$-12a \cdot b = 12$

$a \cdot b = -1$

(2) $a$ と $b$ のなす角 $\theta$ を求める。

$a \cdot b = \|a\| \|b\| \cos\theta$

$-1 = 1 \times 2 \times \cos\theta$

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$

$0 \leq \theta \leq \pi$ より、$\theta = \frac{2}{3}\pi$

3. 最終的な答え

(1) $a \cdot b = -1$

(2) $\theta = \frac{2}{3}\pi$