与えられたポテンシャル $U(r)$ から、位置 $r$ における保存力 $\vec{F}(r)$ を求めます。ただし、$\vec{F} = - \nabla U$ であり、$\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial}{\partial z} \vec{k}$ です。問題は4つのパートに分かれており、それぞれ異なるポテンシャル関数 $U(r)$ が与えられています。

1. 問題の内容

与えられたポテンシャル $U(r)$ から、位置 $r$ における保存力 $\vec{F}(r)$ を求めます。ただし、$\vec{F} = - \nabla U$ であり、$\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial}{\partial z} \vec{k}$ です。問題は4つのパートに分かれており、それぞれ異なるポテンシャル関数 $U(r)$ が与えられています。

2. 解き方の手順

(A) $U(r) = \frac{1}{2} kx^2$ の場合

まず、各成分を計算します。

$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -kx$

$F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = 0$

$F_z = -\frac{\partial U}{\partial z} = 0$

したがって、$\vec{F}(r) = -kx \vec{i}$ となります。

(B) $U(r) = C_1 x^2 y^3 z^4 + C_2 xyz$ の場合

各成分を計算します。

$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -(2 C_1 x y^3 z^4 + C_2 yz)$

$F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -(3 C_1 x^2 y^2 z^4 + C_2 xz)$

$F_z = -\frac{\partial U}{\partial z} = -(4 C_1 x^2 y^3 z^3 + C_2 xy)$

したがって、$\vec{F}(r) = -(2 C_1 x y^3 z^4 + C_2 yz) \vec{i} - (3 C_1 x^2 y^2 z^4 + C_2 xz) \vec{j} - (4 C_1 x^2 y^3 z^3 + C_2 xy) \vec{k}$ となります。

(C) $U(r) = Cr^2 = C(x^2 + y^2 + z^2)$ の場合

各成分を計算します。

$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -2Cx$

$F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -2Cy$

$F_z = -\frac{\partial U}{\partial z} = -2Cz$

したがって、$\vec{F}(r) = -2C(x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}) = -2C \vec{r}$ となります。

(D) $U(r) = \frac{C}{r} = C(x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2}$ の場合

各成分を計算します。

$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -C(-\frac{1}{2})(x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2}(2x) = Cx (x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2} = \frac{Cx}{r^3}$

$F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -C(-\frac{1}{2})(x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2}(2y) = Cy (x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2} = \frac{Cy}{r^3}$

$F_z = -\frac{\partial U}{\partial z} = -C(-\frac{1}{2})(x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2}(2z) = Cz (x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2} = \frac{Cz}{r^3}$

したがって、$\vec{F}(r) = \frac{C}{r^3}(x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}) = \frac{C}{r^3} \vec{r}$ となります。

3. 最終的な答え

(A) $\vec{F}(r) = -kx \vec{i}$

(B) $\vec{F}(r) = -(2 C_1 x y^3 z^4 + C_2 yz) \vec{i} - (3 C_1 x^2 y^2 z^4 + C_2 xz) \vec{j} - (4 C_1 x^2 y^3 z^3 + C_2 xy) \vec{k}$

(C) $\vec{F}(r) = -2C \vec{r}$

(D) $\vec{F}(r) = \frac{C}{r^3} \vec{r}$