完全競争市場において、ある財の需要曲線と供給曲線が与えられています。 需要曲線は $X = 220 - 2P$ で、供給曲線は $X = -20 + 2P$ です。ここで、$X$は数量、$P$は価格を表します。 供給量が80に制限されている状況において、均衡価格、消費者余剰、生産者余剰、および総余剰を求めます。

1. 問題の内容

完全競争市場において、ある財の需要曲線と供給曲線が与えられています。

需要曲線は $X = 220 - 2P$ で、供給曲線は $X = -20 + 2P$ です。ここで、$X$は数量、$P$は価格を表します。

供給量が80に制限されている状況において、均衡価格、消費者余剰、生産者余剰、および総余剰を求めます。

2. 解き方の手順

まず、供給量が80に制限されているときの価格を求めます。供給曲線に$X=80$を代入します。

$80 = -20 + 2P$

$100 = 2P$

$P = 50$

次に、需要曲線に$X=80$を代入して、消費者が80の数量に対して支払ってもよいと考える価格を求めます。

$80 = 220 - 2P$

$2P = 140$

$P = 70$

(4) 価格は、供給量が80に制限されている状況下で、消費者が80の数量に対して支払う意思のある価格、つまり需要曲線における価格です。よって、価格は70です。

(5) 消費者余剰は、消費者が支払ってもよいと考えている価格と実際に支払う価格の差の合計です。ここでは、数量が80の時の価格が70であり、実際の価格は供給曲線によって決まる50です。従って、消費者余剰は三角形の面積として計算されます。

消費者余剰 = $(70-50) \times 80 / 2 = 20 \times 80 / 2 = 800$

(6) 生産者余剰は、生産者が実際に受け取る価格と、供給曲線で示される最小受容価格との差の合計です。供給曲線$X=-20+2P$を$P$について解くと、$P = (X+20)/2$となります。数量$X=0$の時の価格は$P = 10$となります。$X=80$のときの価格は50です。生産者余剰は台形の面積として計算できます。

生産者余剰 = $(50-10) \times 80 - \int_{0}^{80} (x+20)/2 dx = (50-0) - \int_{0}^{80} (x+20)/2 dx$ 生産者余剰は供給曲線と価格線で囲まれた領域の面積なので、三角形として近似できます。$X=-20+2P$より、$2P = X+20$、$P = (X+20)/2$。よって、X=0の時、P=10。

生産者余剰 = $(50-10) \times 80 / 2 = 40 \times 80 / 2 = 1600$

(7) 総余剰は、消費者余剰と生産者余剰の合計です。

総余剰 = 消費者余剰 + 生産者余剰 = $800 + 1600 = 2400$

3. 最終的な答え

価格：70

消費者余剰：800

生産者余剰：1600

総余剰：2400