完全競争市場において、ある財の需要曲線 $X = 220 - 2P$ と供給曲線 $X = -20 + 2P$ が与えられています。供給量が 80 に制限されているときの総余剰を求める問題です。

1. 問題の内容

完全競争市場において、ある財の需要曲線 $X = 220 - 2P$ と供給曲線 $X = -20 + 2P$ が与えられています。供給量が 80 に制限されているときの総余剰を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、供給量が 80 に制限されているときの価格を求めます。供給曲線 $X = -20 + 2P$ に $X = 80$ を代入すると、

$80 = -20 + 2P$

$100 = 2P$

$P = 50$

次に、需要曲線に $X = 80$ を代入し、需要側の価格を求めます。

$80 = 220 - 2P$

$2P = 140$

$P = 70$

供給量が 80 に制限されているときの消費者余剰（CS）は、需要曲線と価格 70 の間の面積で表されます。

需要曲線 $X=220-2P$ を $P$ について解くと $P = 110 - \frac{1}{2}X$ となります。

消費者余剰は三角形の面積として計算できます。

$CS = \frac{1}{2} \times 80 \times (110 - 70)$

$CS = \frac{1}{2} \times 80 \times 40 = 1600$

次に、生産者余剰（PS）を求めます。

供給曲線 $X = -20 + 2P$ を $P$ について解くと $P = \frac{1}{2}X + 10$ となります。

生産者余剰は三角形の面積として計算できます。

$PS = \frac{1}{2} \times 80 \times (50 - 10)$

$PS = \frac{1}{2} \times 80 \times 40 = 1600$

総余剰（TS）は消費者余剰と生産者余剰の合計です。

$TS = CS + PS$

$TS = 1600 + 1600 = 3200$

3. 最終的な答え

3200