完全競争市場において、ある財の需要曲線と供給曲線が与えられています。需要曲線は $X = 220 - 2P$、供給曲線は $X = -20 + 2P$ です。ここで、$X$ は数量、$P$ は価格です。供給量が80に制限されているとき、価格、消費者余剰、生産者余剰、総余剰を求める問題です。

1. 問題の内容

完全競争市場において、ある財の需要曲線と供給曲線が与えられています。需要曲線は $X = 220 - 2P$、供給曲線は $X = -20 + 2P$ です。ここで、$X$ は数量、$P$ は価格です。供給量が80に制限されているとき、価格、消費者余剰、生産者余剰、総余剰を求める問題です。

2. 解き方の手順

(4) 価格の計算

供給量が80に制限されているので、$X = 80$ を需要曲線に代入して価格を求めます。

$80 = 220 - 2P$

$2P = 220 - 80$

$2P = 140$

$P = 70$

したがって、価格は70です。

(5) 消費者余剰の計算

まず、需要曲線を価格 $P$ について解きます。

$X = 220 - 2P$

$2P = 220 - X$

$P = 110 - \frac{1}{2}X$

供給量が80に制限されているときの価格は70なので、消費者余剰は、価格が70から需要曲線の縦軸切片（$X=0$のときの $P$ の値）である110までの三角形の面積で計算できます。

消費者余剰 = $\frac{1}{2} \times (110 - 70) \times 80$

消費者余剰 = $\frac{1}{2} \times 40 \times 80$

消費者余剰 = $1600$

(6) 生産者余剰の計算

まず、供給曲線を価格 $P$ について解きます。

$X = -20 + 2P$

$2P = X + 20$

$P = \frac{1}{2}X + 10$

供給量が80に制限されているときの価格は70なので、生産者余剰は、価格が供給曲線の縦軸切片（$X=0$のときの $P$ の値）である10から70までの三角形の面積で計算できます。

生産者余剰 = $\frac{1}{2} \times (70 - 10) \times 80$

生産者余剰 = $\frac{1}{2} \times 60 \times 80$

生産者余剰 = $2400$

(7) 総余剰の計算

総余剰は、消費者余剰と生産者余剰の合計です。

総余剰 = 消費者余剰 + 生産者余剰

総余剰 = $1600 + 2400$

総余剰 = $4000$

3. 最終的な答え

(4) 価格: 70

(5) 消費者余剰: 1600

(6) 生産者余剰: 2400

(7) 総余剰: 4000