A君とB君が電車の線路に沿った道を同じ方向に走っている。電車CがA君を追い越し、5秒で完全に追い越した。その後、電車CはB君を追い越し、3.6秒で完全に追い越した。電車CがA君に追いついてからB君に追いつくまで1分38秒かかった。A君とB君の走る速さの比は3:2である。A君、B君、電車Cの速さはそれぞれ一定である。 (1) 電車CとA君の走る速さの比を求める。 (2) A君が電車Cに追い越されてからB君に追いつくまでにかかった時間を求める。

1. 問題の内容

A君とB君が電車の線路に沿った道を同じ方向に走っている。電車CがA君を追い越し、5秒で完全に追い越した。その後、電車CはB君を追い越し、3.6秒で完全に追い越した。電車CがA君に追いついてからB君に追いつくまで1分38秒かかった。A君とB君の走る速さの比は3:2である。A君、B君、電車Cの速さはそれぞれ一定である。

(1) 電車CとA君の走る速さの比を求める。

(2) A君が電車Cに追い越されてからB君に追いつくまでにかかった時間を求める。

2. 解き方の手順

(1) 電車CとA君の速さの比を求める。

まず、A君とB君の速さの比が3:2なので、A君の速さを$3x$、B君の速さを$2x$とする。

電車CがA君を追い越すのに5秒かかったので、電車CとA君の速さの差を$V_1$とすると、

$V_1 = C - 3x$

電車CがB君を追い越すのに3.6秒かかったので、電車CとB君の速さの差を$V_2$とすると、

$V_2 = C - 2x$

A君に追いついてからB君に追いつくまで98秒かかっているので、これは電車Cが$V_1$と$V_2$の差の距離を走った時間になる。

A君を追い越す時間とB君を追い越す時間が与えられているので、それぞれの距離は、

$d = 5(C - 3x) = 3.6(C - 2x)$

$5C - 15x = 3.6C - 7.2x$

$1.4C = 7.8x$

$C = \frac{7.8}{1.4}x = \frac{39}{7}x$

CとAの速さの比は、$\frac{39}{7}x : 3x = 39:21 = 13:7$

(2) A君が電車Cに追い越されてからB君に追いつくまでにかかった時間を求める。

A君が電車Cに追い越された時、A君とB君の距離は同じである。

電車CがA君に追いつくまでに5秒かかっている。

A君とB君の速さの差は$3x - 2x = x$

A君とB君の距離を$L$とすると、$L = 98(C - 2x) = 98(\frac{39}{7}x - 2x) = 98(\frac{39 - 14}{7}x) = 98 * \frac{25}{7}x = 14 * 25 x = 350x$

A君とB君の距離が$L$で、A君とB君の速さの差が$x$であるから、A君がB君に追いつくまでの時間は、

$T = \frac{L}{x} = \frac{350x}{x} = 350$秒

350秒は、5分50秒

3. 最終的な答え

(1) 13:7

(2) 5分50秒