与えられたポテンシャル $U(r)$ に対して、保存力 $F(r)$ を求める問題です。ここで、$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ です。 具体的には、以下の4つのポテンシャルについて、$F(r)$ を計算します。 (A) $U(r) = \frac{1}{2} kx^2$ (B) $U(r) = C_1 x^2 y^3 z^4 + C_2 xyz$ (C) $U(r) = Cr^2$ (D) $U(r) = \frac{C}{r}$

1. 問題の内容

与えられたポテンシャル $U(r)$ に対して、保存力 $F(r)$ を求める問題です。ここで、$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ です。 具体的には、以下の4つのポテンシャルについて、$F(r)$ を計算します。

(A) $U(r) = \frac{1}{2} kx^2$

(B) $U(r) = C_1 x^2 y^3 z^4 + C_2 xyz$

(C) $U(r) = Cr^2$

(D) $U(r) = \frac{C}{r}$

2. 解き方の手順

保存力 $F(r)$ は、ポテンシャル $U(r)$ の勾配の負の符号で与えられます。すなわち、

$F(r) = -\nabla U(r)$

ここで、$\nabla$ はナブラ演算子であり、デカルト座標系では、

$\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{k}$

となります。したがって、$F(r)$ の各成分は次のようになります。

$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x}$

$F_y = -\frac{\partial U}{\partial y}$

$F_z = -\frac{\partial U}{\partial z}$

(A) $U(r) = \frac{1}{2}kx^2$の場合：

$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -kx$

$F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = 0$

$F_z = -\frac{\partial U}{\partial z} = 0$

したがって、$F(r) = -kx \hat{i}$

(B) $U(r) = C_1 x^2 y^3 z^4 + C_2 xyz$の場合：

$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -(2C_1 x y^3 z^4 + C_2 yz)$

$F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -(3C_1 x^2 y^2 z^4 + C_2 xz)$

$F_z = -\frac{\partial U}{\partial z} = -(4C_1 x^2 y^3 z^3 + C_2 xy)$

したがって、$F(r) = -(2C_1 x y^3 z^4 + C_2 yz) \hat{i} - (3C_1 x^2 y^2 z^4 + C_2 xz) \hat{j} - (4C_1 x^2 y^3 z^3 + C_2 xy) \hat{k}$

(C) $U(r) = Cr^2 = C(x^2 + y^2 + z^2)$の場合：

$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -2Cx$

$F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -2Cy$

$F_z = -\frac{\partial U}{\partial z} = -2Cz$

したがって、$F(r) = -2C(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) = -2Cr$

(D) $U(r) = \frac{C}{r} = C(x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2}$の場合：

$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -C (-\frac{1}{2}) (x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2} (2x) = C x (x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2} = \frac{Cx}{r^3}$

$F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -C (-\frac{1}{2}) (x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2} (2y) = C y (x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2} = \frac{Cy}{r^3}$

$F_z = -\frac{\partial U}{\partial z} = -C (-\frac{1}{2}) (x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2} (2z) = C z (x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2} = \frac{Cz}{r^3}$

したがって、$F(r) = \frac{C}{r^3}(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) = \frac{C}{r^3}r$

3. 最終的な答え

(A) $F(r) = -kx \hat{i}$

(B) $F(r) = -(2C_1 x y^3 z^4 + C_2 yz) \hat{i} - (3C_1 x^2 y^2 z^4 + C_2 xz) \hat{j} - (4C_1 x^2 y^3 z^3 + C_2 xy) \hat{k}$

(C) $F(r) = -2C(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) = -2Cr$

(D) $F(r) = \frac{C}{r^3}(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) = \frac{C}{r^3}r$