画像に示された数学の問題は、標本平均、標本平均の分布、正規母集団からの標本平均の値を予測する95%予言的中区間、標本分散などに関する穴埋め問題です。

1. 問題の内容

画像に示された数学の問題は、標本平均、標本平均の分布、正規母集団からの標本平均の値を予測する95%予言的中区間、標本分散などに関する穴埋め問題です。

2. 解き方の手順

* **標本平均 (第13講)**

母集団から無作為に抽出された標本 $x_1, ..., x_n$ に対して、その標本平均 $\bar{x}$ は次のように定義されます。

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$

* **標本平均の分布 (第14講)**

母集団の分布がどんなものであっても、標本平均の分布は、平均値が母集団の平均 $\mu$ で、分散が $\sigma^2/n$ の分布になることが証明できます。

さらに、正規母集団（すなわち母集団の分布が正規分布）ならば、標本平均の分布も正規分布になります。

* **正規母集団から標本平均の値を予測する「95%予言的中区間」(第14講)**

母集団が平均値 $\mu$、標準偏差 $\sigma$ の正規分布のとき、標本平均 $\bar{x}$ の分布は、平均値 $\mu$、標準偏差 $\sigma/\sqrt{n}$ の正規分布です。

$\bar{x}$ からその分布の平均値 $\mu$ を引いて標準偏差 $\sigma/\sqrt{n}$ で割った $\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ が標準正規分布（すなわち平均値が0、標準偏差が1の正規分布）に従うことがわかります。

したがって、標本平均の「95%予言的中区間」は、次の不等式を満たす $\bar{x}$ の範囲です。

$-1.96 \le \frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \le 1.96$

* **標本分散 (第16講)**

母集団から無作為に抽出された標本 $x_1, ..., x_n$ に対して、その標本分散 $s^2$ は次のように定義されます。

$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$

3. 最終的な答え

* $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$

* 標本平均の分布は、平均値が $\mu$ で、分散が $\sigma^2/n$

* 正規母集団ならば、標本平均の分布も正規分布になる。

* 標本平均 $\bar{x}$ の分布は、平均値 $\mu$、標準偏差 $\sigma/\sqrt{n}$

* 標準正規分布は、平均値が0、標準偏差が1

* $-1.96 \le \frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \le 1.96$

* $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$