大人5人と子供10人の中から5人を選ぶ場合の数を求める問題です。 (1) すべての選び方を求めます。 (2) 大人が2人、子供が3人を選ぶ場合の数を求めます。

1. 問題の内容

大人5人と子供10人の中から5人を選ぶ場合の数を求める問題です。

(1) すべての選び方を求めます。

(2) 大人が2人、子供が3人を選ぶ場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) すべての選び方

大人5人と子供10人の合計15人の中から5人を選ぶ組み合わせを求めます。組み合わせの公式は $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。

この場合、$n=15$、$r=5$ なので、

$15C5 = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!}$

$15C5 = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

$15C5 = 3 \times 7 \times 13 \times 3 \times 11 = 3003$

(2) 大人2人、子供3人を選ぶ

大人5人から2人を選ぶ組み合わせと、子供10人から3人を選ぶ組み合わせをそれぞれ計算し、掛け合わせます。

大人5人から2人を選ぶ組み合わせは $5C2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

子供10人から3人を選ぶ組み合わせは $10C3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ 通り。

したがって、大人が2人、子供が3人を選ぶ組み合わせは $5C2 \times 10C3 = 10 \times 120 = 1200$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) すべての選び方：3003通り

(2) 大人2人、子供3人を選ぶ：1200通り