美術部、書道部、合唱部の部員がそれぞれ3人ずつ、合計9人いる。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。 (1) 美術部の部員だけで3人のグループを作る。残りの6人から2人を選ぶ選び方は全部で何通りあるか。 (2) グループの分け方は全部で何通りあるか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は全部で何通りあるか。 (3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は全部で何通りあるか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

美術部、書道部、合唱部の部員がそれぞれ3人ずつ、合計9人いる。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。

(1) 美術部の部員だけで3人のグループを作る。残りの6人から2人を選ぶ選び方は全部で何通りあるか。

(2) グループの分け方は全部で何通りあるか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は全部で何通りあるか。

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は全部で何通りあるか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 美術部の3人から3人を選んで1つのグループを作る方法は1通り。残りの6人から2人を選ぶ方法は ${}_6C_2$ 通り。

${}_6C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

(2)

まず、9人を2人、3人、4人のグループに分ける方法を考える。

${}_9C_2 \times {}_7C_3 \times {}_4C_4 = \frac{9!}{2!7!} \times \frac{7!}{3!4!} \times \frac{4!}{4!0!} = \frac{9!}{2!3!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} = 1260$ 通り。

しかし、この分け方ではグループの区別がつかないため、2人、3人、4人のグループという区別をつける必要がある。ここではグループの人数が異なるので、1260通りの分け方がそのまま答えとなる。

次に、各グループに美術部の部員が1人ずつ入る場合を考える。まず、美術部の3人をそれぞれのグループに割り当てる。これは3! = 6通り。

残りの6人（書道部3人、合唱部3人）を2人、3人、4人のグループに分ける。それぞれ美術部員が1人ずつ入るので、残りの人数は1人、2人、3人となる。

まず、書道部3人から1人を選ぶ。${}_3C_1 = 3$通り。

次に、残りの書道部2人と合唱部3人から2人を選ぶ。${}_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

最後に、残りの3人（書道部と合唱部）は最後のグループに入る。${}_3C_3 = 1$通り。

したがって、$3 \times 10 \times 1 = 30$通り。

この組み合わせで美術部の部員の割り当て方(6通り)があるので、$6 \times 30 = 180$通り。

(3)

2人のグループに1つの部の部員だけが入る場合を考える。このとき、2人のグループに美術部員が入る場合、書道部員が入る場合、合唱部員が入る場合がある。

2人のグループに美術部員のみが入る場合、これは(1)で計算した${}_6C_2 = 15$通り。

同様に、2人のグループに書道部員のみが入る場合、書道部から2人を選ぶ組み合わせは${}_3C_2 = 3$通り。残りの6人（美術部3人、書道部1人、合唱部3人）を3人、4人のグループに分ける組み合わせは ${}_6C_3 \times {}_3C_3 = 20$通り。この場合は$3 \times 20 = 60$通り。

同様に、2人のグループに合唱部員のみが入る場合も60通り。

したがって、$15+60+60 = 135$通り。

どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方を考える。これは全体の分け方から、一つのグループのみが同じ部の部員で構成される分け方を引けば良い。

まず、全体の場合の数${}_9C_2 {}_7C_3 {}_4C_4 = 1260$通りから、2人のグループに1つの部の部員のみが入っている場合を引く。2人のグループに1つの部のみが入る場合は135通り。3人グループと4人グループが同一の部の部員のみで構成されることはない。したがって、$1260 - 135 = 1125$通り。

3. 最終的な答え

(1) 15通り

(2) 1260通り, 180通り

(3) 135通り, 1125通り