白玉1個、赤玉4個、青玉6個で環状の首飾りを作るとき、作り方は全部で何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

白玉1個、赤玉4個、青玉6個で環状の首飾りを作るとき、作り方は全部で何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合計の玉の数は $1 + 4 + 6 = 11$ 個です。

これらの玉を円形に並べる総数を考えます。

線形に並べる場合は、同じものを含む順列の考え方で $\frac{11!}{1!4!6!}$ 通りとなります。

しかし、円形に並べる場合は、回転して一致するものを同一視する必要があります。また、裏返して一致する場合も同一視する必要があります。

まず、回転して一致するものを同一視します。11個の玉の並び方は $\frac{11!}{1!4!6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 10 \times 3 \times 7 = 2310$ 通りあります。

円順列の場合、線形順列の数を全体の玉の数で割る必要がありますが、今回は同じものを含む順列なので、単純に割ることはできません。

しかし、ある並びを回転させてできる並びはすべて同一視されるので、2310通りの並びの中に、回転によって一致するものが含まれているはずです。

すべての並びが11回回転すると同じになるわけではないので、バーンサイドの補題またはポリアの定理を使う必要がありますが、今回は難しいので、地道に考えます。

首飾りなので、裏返して同じになるものも同一視します。

まず、回転しない場合（白玉が一番上にある場合など）を考えます。

今回は、白玉が1つしかないため、白玉の位置を固定して考えます。

残りの10個の玉を並べる方法は $\frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$ 通りです。

この210通りの並びを裏返して同じになるものをペアとして数えます。

もし裏返して同じになるものがなければ、$\frac{210}{2} = 105$ 通りとなります。

裏返して同じになる場合を考えます。

中心に対して対称な並びになるには、中心に玉がある必要がありますが、10個なのでそのような並びは存在しません。

したがって、裏返して同じになるものはないので、$\frac{210}{2} = 105$ 通りとなります。

2310という数は11で割り切れるので、円順列として同じものが11個ずつあると勘違いしやすいですが、そうではありません。

すべての並びを考慮して回転対称性と反転対称性を考慮するのは難しいので、ここでは別の考え方をします。

白玉の位置を固定します。残りの10個の玉を並べる方法は $\frac{10!}{4!6!} = 210$ 通りです。

この並びを裏返したとき、同じになるものを同一視します。

裏返して同じになる並びはないので、$\frac{210}{2} = 105$ 通りです。

3. 最終的な答え

105通り