相関係数$\gamma_{XY}$が $-1 \le \gamma_{XY} \le 1$ となることを、以下の2つの式を展開することにより示す問題です。 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \bar{x}}{s_X} + \frac{y_i - \bar{y}}{s_Y} \right)^2 \ge 0$ $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \bar{x}}{s_X} - \frac{y_i - \bar{y}}{s_Y} \right)^2 \ge 0$ ここで、$x_i$ と $y_i$ はデータ、$ \bar{x} $ と $ \bar{y} $ はそれぞれの平均、$s_X$ と $s_Y$ はそれぞれの標準偏差、$n$ はデータ数です。

1. 問題の内容

相関係数$\gamma_{XY}$が $-1 \le \gamma_{XY} \le 1$ となることを、以下の2つの式を展開することにより示す問題です。

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \bar{x}}{s_X} + \frac{y_i - \bar{y}}{s_Y} \right)^2 \ge 0$

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \bar{x}}{s_X} - \frac{y_i - \bar{y}}{s_Y} \right)^2 \ge 0$

ここで、$x_i$ と $y_i$ はデータ、$\bar{x}$ と $\bar{y}$ はそれぞれの平均、$s_X$ と $s_Y$ はそれぞれの標準偏差、$n$ はデータ数です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を展開します。

一つ目の式を展開します。

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left( \frac{(x_i - \bar{x})^2}{s_X^2} + 2 \frac{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{s_X s_Y} + \frac{(y_i - \bar{y})^2}{s_Y^2} \right) \ge 0$

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i - \bar{x})^2}{s_X^2} + \frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{s_X s_Y} + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{(y_i - \bar{y})^2}{s_Y^2} \ge 0$

ここで、分散の定義 $s_X^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ と $s_Y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2$ を用いると、

$1 + 2 \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{s_X s_Y} + 1 \ge 0$

$2 + 2 \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{s_X s_Y} \ge 0$

ここで、相関係数$\gamma_{XY} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{s_X s_Y}$ を用いると、

$2 + 2\gamma_{XY} \ge 0$

$\gamma_{XY} \ge -1$

次に、二つ目の式を展開します。

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left( \frac{(x_i - \bar{x})^2}{s_X^2} - 2 \frac{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{s_X s_Y} + \frac{(y_i - \bar{y})^2}{s_Y^2} \right) \ge 0$

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i - \bar{x})^2}{s_X^2} - \frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{s_X s_Y} + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{(y_i - \bar{y})^2}{s_Y^2} \ge 0$

同様に、分散の定義を用いると、

$1 - 2 \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{s_X s_Y} + 1 \ge 0$

$2 - 2 \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{s_X s_Y} \ge 0$

相関係数$\gamma_{XY}$を用いると、

$2 - 2\gamma_{XY} \ge 0$

$\gamma_{XY} \le 1$

したがって、$-1 \le \gamma_{XY} \le 1$ が示されました。

3. 最終的な答え

$-1 \le \gamma_{XY} \le 1$