袋の中に赤球2個と白球4個が入っている。この袋から3個の球を同時に取り出す。取り出した赤球1個につき100円、白球1個につき50円もらえるゲームを行う。このとき、ゲームの参加料がいくら未満なら参加する方が得で、いくらより高いと損をする可能性が高いかを求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤球2個と白球4個が入っている。この袋から3個の球を同時に取り出す。取り出した赤球1個につき100円、白球1個につき50円もらえるゲームを行う。このとき、ゲームの参加料がいくら未満なら参加する方が得で、いくらより高いと損をする可能性が高いかを求める。

2. 解き方の手順

まず、取り出す球の組み合わせと、それぞれの組み合わせで得られる金額、そしてその確率を計算する。

* 赤球3個: ありえない。

* 赤球2個、白球1個: $200 + 50 = 250$円

* 赤球1個、白球2個: $100 + 100 = 200$円

* 赤球0個、白球3個: $150$円

次に、それぞれの組み合わせの確率を計算する。袋には合計6個の球が入っており、その中から3個を取り出すので、全部の組み合わせの数は $\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通りである。

* 赤球2個、白球1個: $\binom{2}{2} \binom{4}{1} = 1 \times 4 = 4$通り。確率は $\frac{4}{20} = \frac{1}{5}$。

* 赤球1個、白球2個: $\binom{2}{1} \binom{4}{2} = 2 \times 6 = 12$通り。確率は $\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$。

* 赤球0個、白球3個: $\binom{2}{0} \binom{4}{3} = 1 \times 4 = 4$通り。確率は $\frac{4}{20} = \frac{1}{5}$。

次に、このゲームの期待値を計算する。

期待値 $= 250 \times \frac{1}{5} + 200 \times \frac{3}{5} + 150 \times \frac{1}{5} = 50 + 120 + 30 = 200$円

期待値は200円なので、参加料が200円未満なら参加する方が期待値が高く、200円より高い場合は損をする可能性が高い。

3. 最終的な答え

1回のゲームの参加料が200円未満ならゲームに参加すると参加料よりも多くの金額を手に入れる可能性が高いが、200円よりも高い場合はゲームに参加すると損をする可能性が高い。