この問題は、さいころを最大2回投げるゲームに関する期待値の問題です。1か6の目が出ると100点、それ以外の目が出ると-20点を得ます。1回でゲームを止めても良いとき、1回投げた時の期待値$X_1$と、2回投げた時の期待値$X_2$を計算し、どちらの場合に点をより多くもらえるかを判断します。

1. 問題の内容

この問題は、さいころを最大2回投げるゲームに関する期待値の問題です。1か6の目が出ると100点、それ以外の目が出ると-20点を得ます。1回でゲームを止めても良いとき、1回投げた時の期待値$X_1$と、2回投げた時の期待値$X_2$を計算し、どちらの場合に点をより多くもらえるかを判断します。

2. 解き方の手順

(ア) さいころを1回投げたときの期待値$X_1$を計算します。

1または6が出る確率は$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$で、このとき100点もらえます。それ以外の目が出る確率は$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$で、このとき-20点もらえます。

したがって、$X_1$は

$X_1 = \frac{1}{3} \times 100 + \frac{2}{3} \times (-20) = \frac{100 - 40}{3} = \frac{60}{3} = 20$

となります。

(イ) さいころを2回投げたときの期待値$X_2$を計算します。

1回目にさいころを投げた後、得られた点数が20点より大きい場合、2回目を投げずにゲームを終了するのが最適です。一方、得られた点数が20点以下の場合、もう一度さいころを投げることで、期待値を上げられる可能性があります。

したがって、1回目にさいころを投げて得られた点数を$x$とすると、2回目のさいころを投げる場合の期待値は、

$E = \begin{cases}

x & (x \ge 20) \\

x + X_1 & (x < 20)

\end{cases}$

と表せます。

1回目に100点を得る確率は$\frac{1}{3}$で、その場合、そこでゲームを止めるのが最良です。

1回目に-20点を得る確率は$\frac{2}{3}$で、その場合、もう一度投げることで期待値は-20 + 20 = 0となります。

したがって、2回投げる場合の期待値は、

$X_2 = \frac{1}{3} \times 100 + \frac{2}{3} \times ( -20 + 20) = \frac{100}{3}$

となります。

$\frac{100}{3} \approx 33.33$なので、$X_2>X_1$

(ウ) 点をできる限り多くもらうためには、さいころを何回投げるのが良いか判断します。

$X_2>X_1$なので、2回投げる方が期待値が高いです。

3. 最終的な答え

ア: 20

イ: $\frac{100}{3}$

ウ: 2