3つのサイコロA, B, Cを同時に投げたとき、それぞれの出目をX, Y, Zとする。 (1) X=Y=Zとなる確率を求める。 (2) X, Y, Zのうち少なくとも1つが5以上である確率を求める。 (3) X < Y < Zとなる確率を求める。

1. 問題の内容

3つのサイコロA, B, Cを同時に投げたとき、それぞれの出目をX, Y, Zとする。

(1) X=Y=Zとなる確率を求める。

(2) X, Y, Zのうち少なくとも1つが5以上である確率を求める。

(3) X < Y < Zとなる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) X=Y=Zとなる確率は、X, Y, Z全て同じ目が出るということである。

サイコロの目は1から6の6通りなので、(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3), (4,4,4), (5,5,5), (6,6,6)の6パターン存在する。

サイコロの目の出方は全部で$6 \times 6 \times 6 = 216$通りなので、確率は

$\frac{6}{216} = \frac{1}{36}$

となる。

(2) X, Y, Zのうち少なくとも1つが5以上である確率は、余事象を考える。

つまり、X, Y, Z全てが4以下である確率を求めて、1から引く。

X, Y, Z全てが4以下である確率は、$\frac{4}{6} \times \frac{4}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{64}{216} = \frac{8}{27}$

よって、少なくとも1つが5以上である確率は、

$1 - \frac{8}{27} = \frac{27 - 8}{27} = \frac{19}{27}$

となる。

(3) X < Y < Zとなる確率を求める。

X, Y, Zはそれぞれ1から6の値を取る。

X, Y, Zの値の組み合わせを考える。

X < Y < Zを満たす組み合わせは、

(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 2, 6), (1, 3, 4), (1, 3, 5), (1, 3, 6), (1, 4, 5), (1, 4, 6), (1, 5, 6)

(2, 3, 4), (2, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 4, 5), (2, 4, 6), (2, 5, 6)

(3, 4, 5), (3, 4, 6), (3, 5, 6)

(4, 5, 6)

全部で10 + 6 + 3 + 1 = 20通りある。

サイコロの目の出方は全部で$6 \times 6 \times 6 = 216$通りなので、確率は

$\frac{20}{216} = \frac{5}{54}$

となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{36}$

(2) $\frac{19}{27}$

(3) $\frac{5}{54}$