ある街には東西に6本、南北に7本の道がある。PからQへ最短距離で行く方法は何通りあるか？また、PからRを通ってQへ行く方法、PからRを通らずにQへ行く方法はそれぞれ何通りあるか？

1. 問題の内容

ある街には東西に6本、南北に7本の道がある。PからQへ最短距離で行く方法は何通りあるか？また、PからRを通ってQへ行く方法、PからRを通らずにQへ行く方法はそれぞれ何通りあるか？

2. 解き方の手順

(1) PからQまで行く場合:

PからQへ最短距離で行くには、東に5回、北に6回移動する必要がある。したがって、移動回数は合計で11回となる。このうち、東への移動をどこで行うかを選ぶ組み合わせの数が、求める場合の数となる。これは、11個の場所から5個の場所を選ぶ組み合わせと同じなので、

$_{11}C_5$ で計算できる。

$_{11}C_5 = \frac{11!}{5!6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 3 \times 2 \times 7 = 462$

(2) PからRを通ってQまで行く場合:

まず、PからRまで最短距離で行く場合の数を計算する。PからRへは、東に2回、北に2回移動する必要がある。したがって、移動回数は合計で4回となる。このうち、東への移動をどこで行うかを選ぶ組み合わせの数は、

$_4C_2$ で計算できる。

$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

次に、RからQまで最短距離で行く場合の数を計算する。RからQへは、東に3回、北に4回移動する必要がある。したがって、移動回数は合計で7回となる。このうち、東への移動をどこで行うかを選ぶ組み合わせの数は、

$_7C_3$ で計算できる。

$_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$

したがって、PからRを通ってQまで行く場合の数は、PからRまで行く場合の数とRからQまで行く場合の数の積になるので、

$6 \times 35 = 210$

(3) PからRを通らずにQまで行く場合:

PからQまで行く全ての場合の数から、PからRを通ってQまで行く場合の数を引けばよい。

$462 - 210 = 252$

3. 最終的な答え

(1) PからQまで行く道順は462通り

(2) PからRを通ってQまで行く道順は210通り

(3) PからRを通らずにQまで行く道順は252通り